Question

4．隨著我國登月計劃的順利實施，我國宇航員的腳步踏上月球?qū)⒉辉偈菈粝耄�如果一位站在月球表面的宇航員將一小球以速度v（遠小于月球的第一宇宙速度）從距月球表面高為h處水平拋出，測得小球落到月球表面時速度大小為$\sqrt{5}$v．通過查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，設物體只受月球引力的作用．求：
（1）小球在空中運動的時間t；
（2）月球的質(zhì)量M和月球的第一宇宙速度v₁；
（3）距月球表面高H處的探月衛(wèi)星繞月球做圓周運動的向心加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動規(guī)律求出小球在空中運動的時間及月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)月球表面重力與萬有引力相等求得月球的質(zhì)量，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得月球的第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得離月球表面H高處衛(wèi)星的向心加速度．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理可得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得月球表面的重力加速度為：g=$\frac{2{v}^{2}}{h}$
根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，在豎直方向有：
gt=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}$
代入重力加速度g，可得：t=$\frac{h}{v}$
（2）在月球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{Gh}$
第一宇宙速度是繞月球表面飛行的衛(wèi)星的速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得月球的第一宇宙速度為：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$
（3）離月球表面H處的向心加速度滿足：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m{a}_{n}$
所以有：a_n=$\frac{GM}{（R+H）^{2}}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$
答：（1）小球在空中運動的時間t為$\frac{h}{v}$；
（2）月球的質(zhì)量M和月球的第一宇宙速度v₁為$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$；
（3）距月球表面高H處的探月衛(wèi)星繞月球做圓周運動的向心加速度大小為$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$．

點評 掌握平拋運動的規(guī)律知道在星球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供圓周運動向心力是正確解題的關鍵．