Question

4．隨著我國(guó)登月計(jì)劃的順利實(shí)施，我國(guó)宇航員的腳步踏上月球?qū)⒉辉偈菈?mèng)想．如果一位站在月球表面的宇航員將一小球以速度v（遠(yuǎn)小于月球的第一宇宙速度）從距月球表面高為h處水平拋出，測(cè)得小球落到月球表面時(shí)速度大小為$\sqrt{5}$v．通過(guò)查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，設(shè)物體只受月球引力的作用．求：
（1）小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（2）月球的質(zhì)量M和月球的第一宇宙速度v₁；
（3）距月球表面高H處的探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)月球表面重力與萬(wàn)有引力相等求得月球的質(zhì)量，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得月球的第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得離月球表面H高處衛(wèi)星的向心加速度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理可得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得月球表面的重力加速度為：g=$\frac{2{v}^{2}}{h}$
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，在豎直方向有：
gt=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}$
代入重力加速度g，可得：t=$\frac{h}{v}$
（2）在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{Gh}$
第一宇宙速度是繞月球表面飛行的衛(wèi)星的速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得月球的第一宇宙速度為：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$
（3）離月球表面H處的向心加速度滿足：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m{a}_{n}$
所以有：a_n=$\frac{GM}{（R+H）^{2}}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$
答：（1）小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為$\frac{h}{v}$；
（2）月球的質(zhì)量M和月球的第一宇宙速度v₁為$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$；
（3）距月球表面高H處的探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$．

點(diǎn)評(píng) 掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律知道在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等和萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力是正確解題的關(guān)鍵．