Question

3．如圖所示，OMN是放置在水平面上一半徑為R的$\frac{1}{4}$球體玻璃磚，其折射率為$\sqrt{3}$．
①圖中玻璃磚右側(cè)有一束從球心O開始的單色平行光垂直于MO從空氣射入玻璃磚，已知單色光寬度等于$\frac{R}{2}$，求光束中的光線射出玻璃磚時(shí)最大的折射角；
②圖中玻璃磚左側(cè)有一細(xì)束光水平射到球體表面MN，經(jīng)折射后從OM邊射出的光線出射角為60°，求入射光線與桌面的距離．

Answer 1

分析 ①根據(jù)折射定律可知，入射角最大時(shí)折射角最大，由幾何知識(shí)求出最大的入射角，再由折射定律求出最大的折射角．
②當(dāng)光從圖示位置射入，經(jīng)過二次折射后射出球體，畫出光路圖，由折射定律可求出射出光線的入射角，再由幾何知識(shí)得到光線進(jìn)入玻璃磚的折射角，由折射定律求出光線進(jìn)入玻璃磚時(shí)的入射角，即可由幾何知識(shí)求出入射光線與桌面的距離．

解答 解：①由介質(zhì)到空氣的折射定律公式 $\frac{sini}{sinγ}$=$\frac{1}{n}$可知，從玻璃到空氣的入射角越大，則出射時(shí)的折射角也越大，如圖甲所示，光束上邊界光線的入射角最大，由幾何知識(shí)可得，其值為 i=30°
所以 sinγ=nsini=$\sqrt{3}$×sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即最大的折射角為60°．
②設(shè)入射光線與$\frac{1}{4}$球體的交點(diǎn)為C，連接OC，OC即為入射點(diǎn)的法線．如圖乙所示．圖中的角α為入射角．
過C點(diǎn)作球體水平表面的垂線，垂足為B．依題意，∠COB=α．設(shè)光線在C點(diǎn)的折射角為β，由折射定律得：
 $\frac{sinγ}{sinθ}$=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
因θ=60°，則得 γ=30°
由折射定律得：$\frac{sinα}{sinβ}$=n，其中 β=α-30°
聯(lián)立解得 sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由直角三角形的邊角關(guān)系可得：BC=Rsinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
答：
①光束中的光線射出玻璃磚時(shí)最大的折射角是60°．
②入射光線與桌面的距離是$\frac{\sqrt{3}}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 光線從球體入射時(shí)，法線是入射點(diǎn)與球心的連線；當(dāng)光線射出時(shí)，法線與界面垂直．要畫出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)和折射定律結(jié)合進(jìn)行研究．