Question

7．人類計(jì)劃開(kāi)發(fā)火星，已知火星半徑為R，火星表面的重力加速度為g，火星自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，試求：
（1）火星的第一宇宙速度？
（2）火星同步衛(wèi)星的向心加速度大小？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求近地衛(wèi)星的速度即第一宇宙速度
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力和黃金代換式聯(lián)立求出火星同步衛(wèi)星的向心加速度

解答 解：（1）由火星表面  $mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}$
（2）設(shè)火星同步衛(wèi)星離地面高度為h，萬(wàn)有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$①
在火星表面有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$②
聯(lián)立①②得$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{16{π}_{\;}^{4}g{R}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{4}}}$
答：（1）火星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$
（2）火星同步衛(wèi)星的向心加速度大小$\root{3}{\frac{16{π}_{\;}^{4}g{R}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{4}}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．