Question

14．如圖所示，物塊A的質(zhì)量為m_A=2.0kg，沿光滑水平面以v₀=6$\sqrt{3}$m/s速度水平向右勻速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)平面后剛好落在靜止在斜面上的木板B的最上端，且測(cè)得物塊A所經(jīng)軌跡到斜面的垂直距離最遠(yuǎn)．已知斜面足夠長(zhǎng)，傾角θ=30°，木板B的質(zhì)量m_B=2.0kg，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，A在B上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中恰好沒(méi)有滑離B木板，所有接觸面間的最大摩擦力均等于滑運(yùn)動(dòng)摩擦力（g=10m/s²）．求：
（1）A平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）木板B的長(zhǎng)度；
（3）A、B整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中損失的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）將落在木板B上的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)平行四邊形定則求出豎直分速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出A、B在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出A、B間因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能．
（3）根據(jù)A、B間摩擦產(chǎn)生的熱量以及B與斜面間摩擦產(chǎn)生的熱量，求出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）物塊落在B上時(shí)，豎直方向上的分速度v_y=v₀tanθ，
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{{v}_{0}tanθ}{g}=\frac{6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{10}s=0.6s$．
（2）A在B上運(yùn)動(dòng)的初速度${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cos30°}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}m/s=12m/s$
A在B上滑動(dòng)的加速度${a}_{1}=\frac{{m}_{A}gsinθ-{μ}_{1}mAgcosθ}{{m}_{A}}$=gsinθ-μ₁gcosθ=10×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-2.5m/s²．
B運(yùn)動(dòng)的加速度${a}_{2}=\frac{{m}_{B}gsin30°+{μ}_{1}{m}_{A}gcos30°-{μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）gcos30°}{{m}_{B}}$=0.5m/s²．
當(dāng)兩者速度相等時(shí)，A恰好沒(méi)離開(kāi)B，根據(jù)速度時(shí)間公式得，v₁+a₁t=a₂t
解得t=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}-{a}_{1}}=\frac{12}{0.5+2.5}s=4s$．
則A、B之間的相對(duì)位移大小$△x={v}_{1}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$12×4-\frac{1}{2}×2.5×16-\frac{1}{2}×0.5×16m$=24m，
故木板長(zhǎng)度為24m
（3）A、B間由于摩擦產(chǎn)生的熱量Q₁=μ₁m_Agcos30°△x=360J．
在此過(guò)程中B的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=4m$，
則B與接觸面間的摩擦力產(chǎn)生的熱量Q₂=μ₂（m_A+m_B）gcos30°x₂=96J
則△E=Q=Q₁+Q₂=360+96J=456J．
答：（1）A平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.6s；
（2）木板長(zhǎng)度為24m；
（3）A、B整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中損失的機(jī)械能為456J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清A、B在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，知道物體的受力是解決本題的關(guān)鍵．