Question

15．如圖所示，四個(gè)電阻均為R，電鍵K閉合時(shí)，有一質(zhì)量為m，帶電量大小為q的小球靜止于平行板電容器的中點(diǎn)O，現(xiàn)把電鍵打開，此小球就向平行板電容器的一個(gè)極板運(yùn)動(dòng)，并和此極板碰撞，設(shè)碰撞沒有機(jī)械能損失，但碰撞時(shí)小球帶電量發(fā)生變化，碰后帶有和該板同種性質(zhì)的電荷，并恰好能運(yùn)動(dòng)到平行板電容器的另一個(gè)極板，設(shè)兩極板間距為d，電源內(nèi)阻不計(jì)，試求：
（1）電源電動(dòng)勢(shì)；
（2）小球和極板碰撞后的帶電量．

Answer 1

分析 （1）電鍵S閉合時(shí)，根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)，求出電容器板間電壓與電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系，對(duì)小球受力情況進(jìn)行分析，由電場(chǎng)力與重力平衡，即可求出板間電壓，解得電源的電動(dòng)勢(shì)．
（2）斷開S，由電路的關(guān)系求出電容器的板間電壓，對(duì)帶電小球運(yùn)動(dòng)的全過程，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球與極板碰撞后所帶的電量．

解答 解：（1）電鍵K閉合時(shí)，R₁和R₃的并聯(lián)電阻為R₁₃=0.5R
總電阻為R_總=R₄+R₁₃=1.5R，
總電流I=$\frac{E}{1.5R}$
R₄兩端電壓為${U}_{4}=IR=\frac{2}{3}e$，即為電容器兩端的電壓．
小球靜止，即電場(chǎng)力與重力平衡：qE_電=mg
又有U₄=E_電d，可得電源電動(dòng)勢(shì)：$E=\frac{3mgd}{2q}$
（2）電鍵K打開時(shí)，R₄兩端電壓為${U′}_{4}=\frac{1}{2}E$，
平行板電容器間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)?{E′}_{電}=\frac{{U′}_{4}}pjjhpzv=\frac{3mg}{4q}$
小球所受電場(chǎng)力變?yōu)?F′=q{E′}_{電}=\frac{3}{4}mg＜mg$
所以小球向下加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F′=ma
解得：$a=\frac{g}{4}$
小球到達(dá)下極板時(shí)的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2a\fracfznxdj3{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
碰撞沒有機(jī)械能損失，返回時(shí)${v}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
向上運(yùn)動(dòng)由動(dòng)能定律有：$-mgd+{q}_{1}{U}_{4}′=0-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：${q}_{1}=\frac{7}{6}q$
答：（1）電源電動(dòng)勢(shì)為$\frac{3mgd}{2q}$；
（2）小球和極板碰撞后的帶電量為$\frac{7}{6}q$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電路與電場(chǎng)兩部分知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是確定電容器的電壓與電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系．