Question

11．如圖，一粗細均勻的U形管豎直放置，A側(cè)上端封閉，B側(cè)上端與大氣相通，下端開口處開關K關閉，A側(cè)空氣柱的長度為l=10.0cm，B側(cè)水銀面比A側(cè)的高h=3.0cm．現(xiàn)將開關K打開，從U形管中放出部分水銀，當兩側(cè)水銀面的高度差為h₁=10.0cm時將開關K關閉．已知大氣壓強p₀=75.0cmHg．
（i）求放出部分水銀后A側(cè)空氣柱的長度；
（ii）此后再向B側(cè)注入水銀，使A、B兩側(cè)的水銀面達到同一高度，求注入的水銀在管內(nèi)的長度．

Answer 1

分析 （i）在同一段水銀柱中，同一高度壓強相等；先計算出A側(cè)氣體的初狀態(tài)氣壓和末狀態(tài)氣壓，然后根據(jù)玻意耳定律列式求解；
（ii）兩側(cè)水銀面等高后，根據(jù)玻意耳定律求解氣體的體積；比較兩個狀態(tài)，結合幾何關系得到第二次注入的水銀柱的長度．

解答 解：（i）以cmHg為壓強單位．設A側(cè)空氣柱長度l=10.0cm時壓強為p，當兩側(cè)的水銀面的高度差為h₁=10.0cm時，空氣柱的長度為l₁，壓強為p₁，由玻意耳定律，有：
pl=p₁l₁        ①
由力學平衡條件，有：
p=p₀+h         ②
打開開關放出水銀的過程中，B側(cè)水銀面處的壓強始終為p₀，而A側(cè)水銀面處的壓強隨空氣柱長度的增加逐漸減小，B、A兩側(cè)水銀面的高度差也隨著減小，直至B側(cè)水銀面低于A側(cè)水銀面h₁為止，由力學平衡條件，有：
p₁=p₀-h₁       ③
聯(lián)立①②③，并代入題目數(shù)據(jù)，有：
l₁=12cm         ④
（ii）當A、B兩側(cè)的水銀面達到同一高度時，設A側(cè)空氣柱的長度為l₂，壓強為P₂，由玻意耳定律，有：
pl=p₂l₂      ⑤
由力學平衡條件有：
p₂=p₀       ⑥
聯(lián)立②⑤⑥式，并代入題目數(shù)據(jù)，有：
l₂=10.4cm       ⑦
設注入水銀在管內(nèi)的長度為△h，依題意，有：
△h=2（l₁-l₂）+h₁    ⑧
聯(lián)立④⑦⑧式，并代入題目數(shù)據(jù)，有：
△h=13.2cm
答：（i）放出部分水銀后A側(cè)空氣柱的長度為12cm；
（ii）注入的水銀在管內(nèi)的長度為13.2cm．

點評 本題中封閉氣體經(jīng)歷兩次等溫過程，關鍵是找出初狀態(tài)和末狀態(tài)的氣壓和體積（長度）關系，然后根據(jù)玻意耳定律列式求解，不難．