Question

2．一湖面上有一伸向水面的混凝土觀景臺，如圖所示是截面圖，觀景臺下表面恰好和水面相平，A為觀景臺右側(cè)面在湖底的投影，水深h=4m．在距觀景臺右側(cè)面x=4m處有一可沿豎直方向移動的單色點(diǎn)光源S，現(xiàn)該光源從距水面高3m處向下移動到接近水面的過程中，觀景臺水下被照亮的最遠(yuǎn)距離為AC，最近距離為AB，若AB=3m，求：
（�。┧�的折射率n；
（ⅱ）光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC（計(jì)算結(jié)果可以保留根號）．

Answer 1

分析 （i）據(jù)題，觀景臺水下被照亮的最近距離為AB，光線在水面發(fā)生了折射，由數(shù)學(xué)知識求入射角與折射角的正弦值，即可求得折射率．
（ii）點(diǎn)光源S接近水面時，入射角為90°，光能照亮的距離最遠(yuǎn)，由折射定律求出折射角，即可由幾何知識求解最遠(yuǎn)距離AC．

解答 解：（i）點(diǎn)光源S在距水面高3m處發(fā)出的光在觀景臺右側(cè)面與水面交接處折射到水里時，被照亮的距離為最近距離AB，則：
由于$n=\frac{sini}{sinr}$
所以，水的折射率 $n=\frac{{\frac{x}{{\sqrt{{3^2}+{x^2}}}}}}{{\frac{AB}{{\sqrt{A{B^2}+{h^2}}}}}}=\frac{4}{3}$
（ii）點(diǎn)光源S接近水面時，光在觀景臺右側(cè)面與水面交接處掠射到水里時，被照亮的距離為最遠(yuǎn)距離AC，此時，入射角為90°，折射角為臨界角C
則：$n=\frac{{sin{{90}°}}}{sinC}=\frac{{\sqrt{A{C^2}+{h^2}}}}{AC}$=$\frac{4}{3}$
可得 sinC=$\frac{3}{4}$
由數(shù)學(xué)知識得 tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinC}{\sqrt{1-si{n}^{2}C}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
解得：AC=htanC=$\frac{12}{7}\sqrt{7}$m≈4.5m                         
答：
（ⅰ）水的折射率n為$\frac{4}{3}$；
（ⅱ）光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC為4.5m．

點(diǎn)評 本題以折射率和全反射為命題背景考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力，關(guān)鍵能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解入射角和折射角的正弦值，知道入射角最大時折射角也最大．