Question

14．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓細(xì)管豎直放置，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b，以不同的速率進(jìn)入管內(nèi)，若a球通過(guò)圓周最高點(diǎn)C，對(duì)管壁上部的壓力為3mg，b球通過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁內(nèi)側(cè)下部的壓力為0.75mg，重力加速度為g，求：
（1）a球通過(guò)圓周最高點(diǎn)C時(shí)速度v₁
（2）b球通過(guò)圓周最高點(diǎn)C時(shí)速度v₂
（3）a、b球落地點(diǎn)間的距離s．

Answer 1

分析 （1）、（2）對(duì)兩個(gè)球分別受力分析，根據(jù)合力提供向心力，由牛頓第二定律求出兩球通過(guò)C點(diǎn)的速度．
（3）兩球通過(guò)C點(diǎn)后都做平拋運(yùn)動(dòng)，再據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分別求出它們的水平距離，即可求出落地點(diǎn)間的距離s．

解答 解：（1）小球a在最高點(diǎn)C時(shí)，受重力和管壁向下的作用力，這兩個(gè)力的合力作為向心力．
根據(jù)牛頓第二定律得：3mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=2$\sqrt{gR}$    ①
（2）b球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，受重力和管壁向上的支持力，由牛頓第二定律有：
  mg-0.75mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$    ②
（3）兩球從最高點(diǎn)C離開(kāi)后都做平拋運(yùn)動(dòng)，據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ③
兩球落地點(diǎn)間的距離 s=（v₁-v₂）t  ④
聯(lián)立①②③④解得：s=3R
答：
（1）a球通過(guò)圓周最高點(diǎn)C時(shí)速度v₁是2$\sqrt{gR}$．  
（2）b球通過(guò)圓周最高點(diǎn)C時(shí)速度v₂是$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$．
（3）a、b球落地點(diǎn)間的距離s是3R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．