Question

5．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m處，一個質(zhì)量為m=1kg的小球以一定的速度v₁水平拋出后，恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入豎直的光滑圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高度為h₂=0.6m．圓弧軌道BC的圓心0與A點(diǎn)等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長為L=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）求：
（1）小球的水平速度v₁；
（2）小球首次運(yùn)動到C點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力；
（3）若小球與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话耄�且只會發(fā)生一次碰撞，那么小球與軌道CD之間的動摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動的時間，由速度公式求得小球到達(dá)B點(diǎn)時豎直方向的速度，運(yùn)用運(yùn)動的分解法求解水平速度v₁．
（2）小球從B運(yùn)動到C的過程，先根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二、第三定律列式求解壓力；
（3）根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．由于小球的末位置不確定，要考慮小球可能滑過的路程．

解答 解：（1）小球由A運(yùn)動到B的過程中做平拋運(yùn)動，在豎直方向有：
h₁-h₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
根據(jù)幾何可知：h₂=h₁（1-cos∠BOC），
解得：cos∠BOC=60°
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有：tan∠BOC=$\frac{gt}{{v}_{1}}$
聯(lián)立解得：v₁=2m/
（2）設(shè)小球首次運(yùn)動到C點(diǎn)時的速度為v₂．小球從釋放到運(yùn)動達(dá)到C的過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：v₂=2$\sqrt{7}$m/s，
對小球在圓弧軌道C點(diǎn)時，由牛頓運(yùn)動定律有：
N_c-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：N_c=$\frac{100}{3}$N≈33.3N        
根據(jù)牛頓第三定律知，小球首次運(yùn)動到C點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力 N=N_c≈33.3N        
（3）依據(jù)題意知，①μ的最大值對應(yīng)的是球撞墻前瞬間的速度剛好等于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
  $\frac{1}{2}$mv₂²＞μmgL   代入數(shù)據(jù)解得：μ＜$\frac{1}{2}$
②對于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷小球第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₃，由能量守恒有：
  $\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+μmgL
第一次碰墻后返回至C處的動能為：E_kC=$\frac{1}{2}$mv₃²-μmgL  
可知即使μ=0，有：$\frac{1}{2}$mv₃²=14J，$\frac{1}{8}$mv₃²=3.5J＜mgh₂=6J，小球不可能返滑至B點(diǎn)      
故μ的最小值對應(yīng)著小球撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：
  $\frac{1}{8}$mv₃²≤2μmgL，聯(lián)立解得 μ≥$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動摩擦因數(shù)μ值的范圍為：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：（1）小球的水平速度v₁是2m/s．
（2）小球首次運(yùn)動到C點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力是33.3N；
（3）滿足題目條件的動摩擦因數(shù)μ值的范圍為$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 做物理問題應(yīng)該先清楚研究對象的運(yùn)動過程，根據(jù)運(yùn)動性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題；關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動過程中能量的轉(zhuǎn)化．