Question

2．水平粗糙的直軌道ab與半徑為R的數(shù)值半圓形的光滑軌道bc相切，一小球以初速度V₀沿直線軌道向右運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球進(jìn)入圓形軌道后剛好能通過(guò)C點(diǎn)，然后小球沿C點(diǎn)拋出，不計(jì)空氣阻力，正好落到直軌道ab的中點(diǎn)．求：
（1）小球到達(dá)c點(diǎn)的速度？
（2）小球到達(dá)b點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為多大？
（3）小球與粗糙的直軌道ab間的動(dòng)摩擦因數(shù)？

Answer 1

分析 （1）小球在豎直面內(nèi)光滑圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)可知在最高點(diǎn)重力恰好提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由此求得小球在C點(diǎn)的速度；
（2）小球在b點(diǎn)時(shí)豎直方向的合力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，再根據(jù)動(dòng)能定理求得小球在b點(diǎn)的速度，由此求得小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）小球離開(kāi)c點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)拋出點(diǎn)的高度和速度求得射程大小，從而得出ab間距離的大小，根據(jù)動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)的大�。�

解答 解：（1）小球恰好經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，說(shuō)明在c點(diǎn)重力恰好提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即有：
$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
所以可得小球在C點(diǎn)的速度v_C=$\sqrt{gR}$；
（2）小球從b到c的過(guò)程中只有重力對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入c點(diǎn)的速度可得小球在b點(diǎn)時(shí)的速度
v_B=$\sqrt{5gR}$
小球在b點(diǎn)時(shí)，所受軌道的支持力與重力的合力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$N-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
可得小球受到軌道的支持力N=mg+$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=mg+5mg=6mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球到達(dá)b時(shí)對(duì)軌道的壓力N′=N=6mg；
（3）小球離開(kāi)c點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，拋出點(diǎn)高度H=2R，拋出速度v_C=$\sqrt{gR}$，所以小球落地時(shí)的水平射程：
bd=${v}_{C}•\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=2R$
因?yàn)閐是ab的中點(diǎn)，所以ab間距離s=2bd=4R
從a到b的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：μ=$\frac{5}{8}-\frac{{v}_{0}^{2}}{8gR}$
答：（1）小球到達(dá)c點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$；
（2）小球到達(dá)b點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為6mg；
（3）小球與粗糙的直軌道ab間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{5}{8}-\frac{{v}_{0}^{2}}{8gR}$．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理、向心力公式即可正確解題，掌握豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵．