7.如圖示,質(zhì)量為m1的小球A用不可伸長的輕質(zhì)細繩懸掛,從偏離豎直方向θ角位置靜止釋放,在最低點與靜止小球B發(fā)生對心彈性碰撞,B球位于四分之一圓弧CD的圓心O處的光滑小支架上,圓弧半徑與細繩長度均為R,OC邊水平,B球質(zhì)量為m2,A、B小球可視為質(zhì)點,求
(1)A球擺到最低點與B球發(fā)生碰撞前繩子的拉力大小F;
(2)碰后B球的速度大小vB;
(3)小球B到達圓弧面的最小動能EK

分析 (1)先由機械能守恒定律求出A球與B球碰撞前瞬間的速度.A球在最低點時,由合力充當向心力,由牛頓第二定律求繩子的拉力F.
(2)A球與B球發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律結(jié)合求碰后B球的速度大小vB;
(3)碰后小球B平拋至圓弧,由分運動的規(guī)律和幾何關系,求小球B到達圓弧面的最小速率,從而得到最小動能EK

解答 解:(1)小球A下降過程,由機械能守恒得:
  m1gR(1-cosθ)=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
A球在最低點時,由牛頓第二定律有:
   F-m1g=m1$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得  F=m1g(3-2cosθ)                                    
(2)AB發(fā)生彈性碰撞,取水平向右為正方向,由動量守恒定律得:
  m1v1=m1vA+m2vB
由機械能守恒得:$\frac{1}{2}$m1v12=$\frac{1}{2}$m1vA2+$\frac{1}{2}$m2vB2
解得  vB=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v1=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR(1-cosθ)}$
(3)碰后小球平拋至圓弧時,設豎直位移為y,水平位移為x.
則 x2+y2=R2
水平方向勻速運動,有 x=vBt
豎直方向自由落體,有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得 ${v}_{B}^{2}$=$\frac{g({R}^{2}-{y}^{2})}{2y}$
又由平拋過程機械能守恒有:m2gy=Ek-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
解得 Ek=m2g($\frac{{R}^{2}}{4y}$+$\frac{3y}{4}$)
由數(shù)學知識可知當 $\frac{{R}^{2}}{4y}$=$\frac{3y}{4}$時,即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時動能具有最小值,最小值為 Ekmin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2gR
答:
(1)A球擺到最低點與B球發(fā)生碰撞前繩子的拉力大小F是m1g(3-2cosθ);
(2)碰后B球的速度大小vB是$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR(1-cosθ)}$;
(3)小球B到達圓弧面的最小動能EK是$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2gR.

點評 分析清楚運動過程是正確解題的基礎,要抓住每個過程的物理規(guī)律,運用物理規(guī)律得到動能的表達式,再由數(shù)學知識求最小動能,這是常用的函數(shù)法,要學會運用.

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