Question

17．如圖所示，橫向?qū)挾葹長、縱向?qū)挾茸銐虼蟮膮^(qū)域內(nèi)，直線PQ兩側(cè)分別存在強(qiáng)度相同、方向相反但均垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從P點沿與PQ成θ=30°角的方向，以速度v射入下方磁場區(qū)域，粒子最終從Q點離開，不計粒子重力
（1）求磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值；
（2）若粒子從Q點射出時的速度與從P點射入時相同，求粒子在磁場中的運動時間；
（3）撤去磁場，在紙面內(nèi)加一與初速度v垂直的勻強(qiáng)電場，仍使粒子從P點射入并經(jīng)過Q點，求電場強(qiáng)度的大�。�

Answer 1

分析 （1）當(dāng)粒子在磁場中運動的軌道半徑最大時，速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．
（2）抓住粒子從Q點射出時速度與P點射入時速度相同，根據(jù)圓周運動的周期性，求出粒子在磁場中轉(zhuǎn)動的圓心角的總和，根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式，結(jié)合周期性求出周期的大小，從而求出粒子在磁場中的運動時間．
（3）粒子在電場中做類平拋運動，將粒子的運動分解為垂直電場方向和沿電場方向，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出電場強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)粒子在磁場中運動的軌道半徑最大時，磁感應(yīng)強(qiáng)度最�。�如圖所示．
根據(jù)幾何關(guān)系知，粒子在磁場中運動的軌道半徑r=$\frac{\frac{L}{2}}{sinθ}=\frac{L}{2sinθ}$．
根據(jù)$r=\frac{mv}{qB}$得，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B=$\frac{mv}{qr}=\frac{2mvsinθ}{qL}$=$\frac{mv}{qL}$．
（2）若粒子從Q點射出時的速度與從P點射入時相同，
根據(jù)幾何關(guān)系知，粒子在磁場中運動轉(zhuǎn)過的角度α=4nθ，n=1，2，3…，
則粒子在磁場中運動的時間t=$\frac{4nθ}{2π}T$，
T=$\frac{2πr}{v}$，
根據(jù)幾何關(guān)系有：$rsinθ=\frac{L}{4n}$，n=1，2，3…，
聯(lián)立解得t=$\frac{πL}{3v}$．
（3）撤去磁場，在紙面內(nèi)加一與初速度v垂直的勻強(qiáng)電場，
知粒子在垂直電場方向上運動的距離x=Lcosθ，沿電場線方向上的距離y=Lsinθ，
t=$\frac{x}{v}$，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$，
聯(lián)立解得E=$\frac{m{v}^{2}}{qLco{s}^{2}θ}$=$\frac{4m{v}^{2}}{3qL}$．
答：（1）磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值為$\frac{mv}{qL}$；
（2）粒子在磁場中的運動時間為$\frac{πL}{3v}$；
（3）電場強(qiáng)度的大小為$\frac{4m{v}^{2}}{3qL}$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場和電場中的運動，對于粒子在磁場中，關(guān)鍵確定圓心、半徑和圓心角，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解，對于粒子在電場中運動，掌握處理類平拋運動的方法，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進(jìn)行求解．