Question

14．如圖所示，在粗糙水平面上有一質(zhì)量為M=2kg的粗糙斜面體、斜面的傾角θ=30°，在斜面體的左側(cè)相距為d=1.5m處有一固定障礙物Q，將一質(zhì)量為m=0.2kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）用絕緣繩系住，繩的一端固定在斜面體的頂端，此時小物塊恰好能在斜面體上與斜面體一起保持靜止且繩剛好伸直無彈力．現(xiàn)給斜面體施加一水平向左的推力F，使斜面體和小物塊一起向左做勻加速運(yùn)動，當(dāng)斜面體到達(dá)障礙物Q與其碰撞后，斜面體立即被障礙物Q鎖定．已知斜面體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.5，重力加速度g=10m/s²，設(shè)滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，求：
（1）小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₂；
（2）最大的水平推力F；
（3）若用最大水平推力作用在斜面體上，斜面體被障礙物Q鎖定后，小物體在絕緣繩牽引下沿圓周運(yùn)動而不脫離圓軌道，輕繩的長度應(yīng)滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）抓住物塊恰好能夠靜止在斜面上，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件求出小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₂．
（2）當(dāng)物塊所受的靜摩擦力沿斜面向下達(dá)到最大時，加速度最大，水平推力即最大．隔離對物塊分析，求出物塊的最大加速度，再對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出水平推力F的大�。�
（3）根據(jù)速度位移公式求出物塊拋出的初速度，結(jié)合圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件和機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）物塊恰好靜止在斜面上且繩剛好伸直無彈力，則有：
  mgsinθ=μ₂mgcosθ
解得：μ₂=tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）當(dāng)物塊所受的靜摩擦力沿斜面向下達(dá)到最大時，需要加速度最大，對物塊受力分析，由牛頓第二定律可得：
豎直方向有 F_Ncosθ=mg+f_msinθ…①
水平方向有 F_Nsinθ+f_mcosθ=ma_m…②
 f_m=μ₂F_N…③
由以上三式可解得：a_m=$\sqrt{3}$g
對整體列式：F-μ₁（M+m）g=（M+m）a_m
解得：F=（M+m）（gμ₁+a_m）=（11+2$\sqrt{3}$）N
（3）物塊拋出的速度為：v₀=$\sqrt{2{a}_{m}d}$=2$\sqrt{5\sqrt{3}}$m/s²．
設(shè)輕繩的長度為L．
在圓周的最高點(diǎn)有 m$\frac{{v}^{2}}{L}$≥mg
從拋出到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有
   mgL（1+sinθ）+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得 L≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$m
答：
（1）小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₂是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）最大的水平推力F是（11+2$\sqrt{3}$）N．
（3）輕繩的長度應(yīng)滿足的條件是L≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．

點(diǎn)評 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式的綜合，得出物塊最大加速度是解決本題的關(guān)鍵，掌握整體法和隔離法在動力學(xué)中的運(yùn)用．