Question

4．離子推進(jìn)器是太空飛行器常用的動力系統(tǒng)．某種推進(jìn)器設(shè)計的簡化原理如圖1所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個工作區(qū)．Ⅰ為電離區(qū)，將氙氣電離獲得1價正離子；Ⅱ為加速區(qū)，長度為L，兩端加有電壓，形成軸向的勻強(qiáng)電場．Ⅰ區(qū)產(chǎn)生的正離子以接近0的初速度進(jìn)入Ⅱ區(qū)，被加速后以速度v從右側(cè)噴出．Ⅰ區(qū)內(nèi)有軸向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在離軸線$\frac{R}{2}$處的C點持續(xù)射出一定速率范圍的電子．假設(shè)射出的電子僅在垂直于軸線的截面上運(yùn)動，截面如圖2所示（從左向右看）．電子的初速度方向與中心O點和C點的連線成α角（0＜α≤90°）．推進(jìn)器工作時，向Ⅰ區(qū)注入稀薄的氙氣．電子使氙氣電離的最小速率為v₀，電子在Ⅰ區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好．已知離子質(zhì)量為M；電子質(zhì)量為m，電量為e．（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）

（1）求Ⅱ區(qū)的加速電壓及離子的加速度大�。�
（2）α為90°時，要取得好的電離效果，求射出的電子速率v的范圍；
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_max與α角的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動的過程中，只受電場力作用，電場力做正功，利用動能定理和運(yùn)動學(xué)公式可解的加速電壓和離子的加速度大�。�
（2）因電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好，所以可知電子應(yīng)為逆時針轉(zhuǎn)動，通過幾何關(guān)系分析出離子運(yùn)功的最大軌道半徑，洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律可計算出離子的最大速度．
（3）畫出軌跡圖，通過幾何關(guān)系解出軌道的最大半徑，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力列式，即可得出射出的電子最大速率v_M與α的關(guān)系

解答 解：（1）由動能定理：$\frac{1}{2}M{v}^{2}=eU$
得：$U=\frac{M{v}^{2}}{2e}$
a=$\frac{eE}{M}=\frac{eU}{ML}=\frac{{v}^{2}}{2L}$
（2）設(shè)電子運(yùn)動的最大半徑為r

     2r=$\frac{3}{2}$R．
    eBv=m$\frac{v2}{r}$
所以有v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$
要使上式有解，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＞$\frac{4mv0}{3eR}$
（3）如右圖所示，OA=R-r，OC=$\frac{R}{2}$，AC=r

根據(jù)幾何關(guān)系$（\frac{R}{2}）^{2}$+r²-2$•\frac{R}{2}•rcos（90°-α）$=（R-r）²；
得r=$\frac{3R}{4（2-sinα）}$
由eBv=m$\frac{v2}{r}$和上式得：v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$
答：
（1）Ⅱ區(qū)的加速電壓為$\frac{M{v}^{2}}{2e}$及離子的加速度為$\frac{{v}^{2}}{2L}$
（2）α為90°時，要取得好的電離效果，射出的電子速率v的范圍v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_max與α角的關(guān)系為v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$

點評 該題的文字?jǐn)⑹鲚^長，要求要快速的從中找出物理信息，創(chuàng)設(shè)物理情境；平時要注意讀圖能力的培養(yǎng)，以及幾何知識在物理學(xué)中的應(yīng)用，解答此類問題要有畫草圖的習(xí)慣，以便有助于對問題的分析和理解；再者就是要熟練的掌握帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期和半徑公式的應(yīng)用