Question

10．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球半徑為r，月球表面的重力加速度為$\frac{g}{6}$，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)．求：
（1）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比；
（2）月球球心到地球球心的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力分別求出月球質(zhì)量和地球質(zhì)量，再求比值
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球球心到地球球心的距離

解答 解：（1）月球表面物體重力等于萬(wàn)有引力，有：
$m\frac{g}{6}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{g{r}_{\;}^{2}}{6G}$
地球表面物體重力等于萬(wàn)有引力，有：$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{地}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
$\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{{r}_{\;}^{2}}{6{R}_{\;}^{2}}$
（2）月球繞地球球心的距離為r，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}{M}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={M}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：${r}_{\;}^{3}=\frac{G{M}_{地}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$
即：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比$\frac{{r}_{\;}^{2}}{6{R}_{\;}^{2}}$；
（2）月球球心到地球球心的距離$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬(wàn)有引力提供向心力和重力等于萬(wàn)有引力這兩個(gè)重要的關(guān)系，掌握這兩個(gè)關(guān)系可以解決所有關(guān)于天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．