Question

3．宇航員乘坐航天飛行器到達某未知星球表面進行科學考察，他將“該星球的自轉(zhuǎn)周期18個小時、同一物體在該星球兩極處的重力為在赤道處重力的$\frac{27}{26}$倍”的數(shù)據(jù)輸入飛行器的航程自動儀中，飛行器自動生成運行軌道，并按此軌道由星球表面的Q點返回到同步圓軌道上，如圖所示，其中P點和Q點為切點，下列說法正確的是（　�。�

• A． 可以求出未知星球的質(zhì)量
• B． 從橢圓軌道返回同步軌道，飛行器要增大速度
• C． 可以求出同步軌道半徑和星球半徑的比值
• D． 飛行器從Q點到P點需要的時間為26小時

Answer 1

分析 在星球的兩極時重力等于萬有引力．在星球的赤道，物體的重力等于萬有引力與向心力之差．同步衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，由這三個關(guān)系分別列式，求同步衛(wèi)星的軌道半徑與星球半徑的關(guān)系，再由開普勒第三定律求出飛行器運動的周期，即可得到所求時間

解答 解：A、因不知星球的半徑，則不能確定其質(zhì)量．
B、從橢圓軌道返回同步軌道，飛行器在P點由向心運動變?yōu)閳A周運動要增加速度，則B正確
C、D、設(shè)該星球的半徑為R，質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r，飛行器的周期為T′．
在星球的兩極有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
在星球的赤道有 G$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg′+m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
據(jù)題有 mg′=$\frac{26}{27}$mg
聯(lián)立以上三式得：$\frac{1}{27}$•G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
對于同步衛(wèi)星有：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
聯(lián)立以上二式解得 r=3R 則C正確
根據(jù)開普勒第三定律得 $（\frac{R+r}{2}）^{3}：{r}^{3}=T{′}^{2}：{T}^{2}$
得 T′=4$\sqrt{6}$h，則從Q點到P點需要的時間為2$\sqrt{6}$小時，則D錯誤
故選：BC

點評 本題的關(guān)鍵要之處是根據(jù)重力與萬有引力的關(guān)系、萬有引力與向心力的關(guān)系求同步衛(wèi)星的軌道半徑，明確飛行器由P點到Q點所需的時間應(yīng)是橢圓運動的半個周期