Question

5．如圖所示，在光滑絕緣的水平面上，用長為2L的絕緣輕桿兩個質(zhì)量均為m的帶電小球A和B，A球的帶電量為+3q，B球的帶電量為-4q，兩球組成一帶電系統(tǒng)．虛線MN與PQ平行且相距3L，開始時A和B分別靜止于虛線MN的兩側(cè)，虛線MN恰為AB兩球連線的垂直平分線．若視小球為質(zhì)點(diǎn)，不計輕桿的質(zhì)量，在虛線MN、PQ間加上水平向右的電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場后．試求：
（1）B球剛進(jìn)入電場時，帶電系統(tǒng)的速度大小；
（2）帶電系統(tǒng)向右運(yùn)動的最大距離和此過程中B球電勢能的變化量；
（3）帶電系統(tǒng)運(yùn)動的周期．

Answer 1

分析 （1）對系統(tǒng)運(yùn)用動能定理，根據(jù)動能定理求出B球剛進(jìn)入電場時，帶電系統(tǒng)的速度大小．
（2）帶電系統(tǒng)經(jīng)歷了三個階段，：B球進(jìn)入電場前、帶電系統(tǒng)在電場中、A球出電場，根據(jù)動能定理求出A球離開PQ的最大位移，從而求出帶電系統(tǒng)向右運(yùn)動的最大距離．根據(jù)B球在電場中運(yùn)動的位移，求出電場力做的功，從而確定B球電勢能的變化量．
（3）根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律分別求出帶電系統(tǒng)B球進(jìn)入電場前做勻加速直線運(yùn)動的時間，帶電系統(tǒng)在電場中做勻減速直線運(yùn)動的時間，A球出電場帶電系統(tǒng)做勻減速直線運(yùn)動的時間，從而求出帶電系統(tǒng)從靜止開始向右運(yùn)動再次速度為零的時間，帶電系統(tǒng)的運(yùn)動周期為該時間的2倍．

解答 解：（1）設(shè)B球剛進(jìn)入電場時帶電系統(tǒng)電度為v₁，由動能定理得：
3qEL=$\frac{1}{2}•2m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{3qEL}{m}}$．
（2）帶電系統(tǒng)向右運(yùn)動分三段：B球進(jìn)入電場前、帶電系統(tǒng)在電場中、A球出電場．設(shè)A球離開PQ的最大位移為x，由動能定理得：
3qEL-qEL-4qEx=0
解得x=$\frac{L}{2}$，則帶電系統(tǒng)向右運(yùn)動的最大距離為：s_總=$\frac{5L}{2}$．
B球從剛進(jìn)入電場到帶電系統(tǒng)從開始運(yùn)動到速度第一次為零時位移為$\frac{3L}{2}$，
則電場力做功$W=-4qE•\frac{3}{2}L+3qE•2L$=0，則電勢能的變化量△E_p=0．
（3）向右運(yùn)動分三段，取向右為正方向，
第一段加速，${a}_{1}=\frac{3qE}{2m}$，
則${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\sqrt{\frac{4mL}{3qE}}$，
第二段減速，${a}_{2}=\frac{-qE}{2m}$，
設(shè)A球出電場電速度為v₂，由動能定理得：$-qEL=\frac{1}{2}2m{{（v}_{2}}^{2}-{v}_{1}）^{2}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
則${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．
第三段再減速則其加速度a₃及時間t₃為：${a}_{3}=\frac{-4qE}{2m}=\frac{-2qE}{m}$，${t}_{3}=\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{3}}$=$\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$．
所以帶電系統(tǒng)運(yùn)動的周期為：T=2（t₁+t₂+t₃）=2$（\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{2}}{2}）\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．
答：（1）B球剛進(jìn)入電場時，帶電系統(tǒng)的速度大小為$\sqrt{\frac{3qEL}{m}}$；
（2）帶電系統(tǒng)向右運(yùn)動的最大距離為$\frac{5L}{2}$．此過程中B球電勢能的變化量為0．
（3）帶電系統(tǒng)運(yùn)動的周期為2$（\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{2}}{2}）\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清帶電系統(tǒng)在整個過程中的運(yùn)動情況，結(jié)合牛頓第二定律、動能定理和運(yùn)動學(xué)公式綜合求解．