Question

15．我國于2013年12月發(fā)射了“嫦娥三號”衛(wèi)星，該衛(wèi)星在距月球表面H處的環(huán)月軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)行的周期為T；隨后嫦娥三號在該軌道上A點(diǎn)采取措施，降至近月點(diǎn)高度為h的橢圓軌道Ⅱ上，如圖所示．若以R表示月球的半徑，忽略月球自轉(zhuǎn)及地球?qū)πl(wèi)星的影響．則下述判斷正確的是（　　）

• A． 月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球的第一宇宙速度為$\frac{2π\(zhòng)sqrt{R（R+h）^{3}}}{TR}$
• C． “嫦娥三號”在環(huán)月軌道Ⅰ上需加速才能降至橢圓軌道Ⅱ
• D． “嫦娥三號”在圖中橢圓軌道Ⅱ上的周期為$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}$T

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解月球的質(zhì)量和第一宇宙速度，再根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解橢圓軌道的周期．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由在軌道I上的運(yùn)動(dòng)有：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、據(jù)$\frac{GmM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{2π\(zhòng)sqrt{R（R+H）^{3}}}{TR}$，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C、嫦娥三號在軌道I上運(yùn)動(dòng)，要使其沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)可知，嫦娥三號需做近心運(yùn)動(dòng)，故在軌道I上需要對嫦娥三號減速才可以沿軌道II運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)開普勒第三定律，在軌道I和軌道II上的周期滿足：$\frac{{R}_{I}^{3}}{{T}_{I}^{2}}=\frac{{R}_{II}^{3}}{{T}_{II}^{2}}$，即${T}_{II}=\sqrt{\frac{{R}_{II}^{3}}{{R}_{I}^{3}}}{T}_{I}$=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$，故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是抓住萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，掌握基礎(chǔ)知識是解題的主要入手點(diǎn)．