Question

14．如圖所示，兩足夠長平行光滑的固定金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α，導(dǎo)軌上端跨接一定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計．整個裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于軌道平面向上，長為L的金屬棒cd垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌保持良好接觸，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為r，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒從緊靠NQ處由靜止釋放，當金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s時，速度達到最大值v_m．求：
（1）勻強磁場的磁感應(yīng)強度大�。�
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）若將金屬棒下滑s的時刻記作t=0，假設(shè)此時磁感應(yīng)強度B₀為已知，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請推導(dǎo)這種情況下磁感應(yīng)強度B與時間t的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）當棒子開始運動時，又會受到水平向右的安培力，棒子做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減小到0時，速度達到最大．根據(jù)最終達到平衡，列出平衡方程，求出磁感應(yīng)強度．
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，重力勢能減小，動能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒先求出整個電路產(chǎn)生的熱量，再求出電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量應(yīng)不變，根據(jù)t時刻的磁通量與t=0時刻的磁通量相等，此時棒不受安培力，做勻加速運動，結(jié)合運動學(xué)公式列式求解．

解答 解：（1）設(shè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，
則金屬棒最大速度時產(chǎn)生的電動勢：E=BLv_m，
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流：$I=\frac{E}{R+r}$，
金屬棒所受的安培力：F=BIL，
cd棒所受合外力為零時，下滑的速度達到最大，
由平衡條件得：mgsinα=F，
解得：$B=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（R+r）sinα}{v_m}}$；
（ 2）設(shè)電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q，整個電路產(chǎn)生的電熱為Q_熱，
由能量守恒定律得：$mgs•sinα=\frac{1}{2}mv_m^2+{Q_總}$，
R上產(chǎn)生的熱量：$Q=\frac{R}{R+r}{Q_總}$，
解得：$Q=\frac{R}{R+r}（mgs•sinα-\frac{1}{2}m{v_m}^2）$；
（3）金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流時沒有安培力，金屬棒的加速度大小為a，
由牛頓第二定律得：mgsinα=ma，解得：a=gsinα，
由磁通量不變得：${B_0}Ls=BL（s+{v_m}t+\frac{1}{2}a{t^2}）$，
解得：$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+{v_m}t+\frac{1}{2}g{t^2}•sinα}}$；
答：（1）勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）sinα}{{v}_{m}}}$；
（2）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑距離為s的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{R}{R+r}$（mgs•sinα-$\frac{1}{2}$mv_m²）；
（3）這種情況下磁感應(yīng)強度B與時間t的關(guān)系式是：$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+{v_m}t+\frac{1}{2}g{t^2}•sinα}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵會根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運動學(xué)能夠分析出金屬棒的運動情況，當a=0時，速度達到最大．掌握不產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件：磁通量不變．