Question

4．一個半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧與一傾角為30°的光滑斜面通過一小段光滑圓弧相接于O點，如圖所示，斜面高也為R，一質(zhì)點第一次從圓弧的A點由靜止下滑，第二次從圓弧上的C點由靜止下滑（∠CO₁O=60°），則（　�。�

• A． 質(zhì)點兩次離開O點后均做平拋運動而落在水平面上
• B． 質(zhì)點兩次離開O點后均做平拋運動，但均落在斜面上
• C． 質(zhì)點兩次離開O點前瞬間對軌道壓力的比為3：2
• D． 質(zhì)點第一次離開O點后做平拋運動，第二次沿斜面下滑

Answer 1

分析 先根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出質(zhì)點恰好落在斜面底端時通過O點的速度．再根據(jù)機械能守恒分別求出質(zhì)點從A滑到O點的速度，以及從C滑到O點的速度，即可判斷質(zhì)點能否落在斜面上．根據(jù)牛頓運動定律求質(zhì)點對O點的壓力．

解答 解：ABD、設(shè)質(zhì)點恰好落在斜面底端時通過O點的速度為v．
由 R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，Rcos30°=vt
解得  v=$\frac{1}{4}\sqrt{6gR}$
質(zhì)點從A到O，有：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，得質(zhì)點到O點的速度 v₁=$\sqrt{2gR}$
質(zhì)點從C到O，有 mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，得質(zhì)點到O點的速度 v₂=$\sqrt{gR}$
因為v₁＞v，v₂＞v，所以質(zhì)點第一次和第二次離開O點后都做平拋運動，落在水平面上．故A正確，BD錯誤．
C、在O點：
第一次有：N₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，N₁=3mg
第二次有：N₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，N₂=2mg，可得N₁：N₂=3：2
所以質(zhì)點兩次離開O點前瞬間對軌道壓力的比為3：2．故C正確．
故選：AC．

點評 本題的關(guān)鍵要研究質(zhì)點剛好落在斜面底端的臨界速度，再結(jié)合機械能守恒定律和牛頓第二定律求質(zhì)點對軌道的壓力大小．