Question

5．一艘小船在100m寬的河中橫渡到對岸，已知水流速度是3m/s，小船在靜水中的速度是4m/s，求：
（1）欲使船渡河時間最短，船應(yīng)該怎樣渡河？最短時間是多少？船經(jīng)過的位移多大？
（2）欲使航行距離最短，船應(yīng)該怎樣渡河？渡河時間多長？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)船在垂直于河岸方向上的速度最大時，渡河時間最短，即為船頭始終指向河對岸時，時間最短．用運動學(xué)公式即可得知渡河的最短時間，船還隨河水向下運動，求出船隨河水向下運動的位移，即可得知船的實際位移．
（2）船垂直渡河時船的航程最短，此時船頭要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小與水流的速度大小相等，對兩個速度進(jìn)行合成，利用運動學(xué)公式即可求得渡河時間．

解答 解：（1）船渡河時間最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即為讓船頭始終指向?qū)Π�，渡河時間為：
t_min=$\fracivvek2f{{v}_{靜}}$=$\frac{100}{4}$=25s
船沿河流方向上的位移為：s=v_水•t_min=3×25=75m
船經(jīng)過的位移為：x=$\sqrt{zcnp7jq^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}+7{5}^{2}}$=125m
（2）要使船航程最短，即為讓船垂直河岸渡河，船航行的實際速度垂直于河岸，如圖所示
設(shè)船在靜水中的速度方向與河岸間的夾角為θ，船在靜水中的速度沿河岸上的分量大小與水流的速度大小相等，方向相反，有：v_靜•cosθ=v_水
即為：cosθ=$\frac{3}{4}$
得：θ=arccos$\frac{3}{4}$
即為船頭指向上游，與河岸間的夾角為arccos$\frac{3}{4}$
此時合速度為：v_合=$\sqrt{{v}_{靜}^{2}-{v}_{水}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$m/s
渡河時間為：t=$\fracswciopw{{v}_{合}}$=$\frac{100}{\sqrt{7}}$=$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s
答：（1）欲使船渡河時間最短，船頭應(yīng)始終指向河對岸，船經(jīng)過的位移125m
（2）欲使航行距離最短，船頭應(yīng)指向河上游，與河岸間的夾角為arccos$\frac{3}{4}$，渡河時間為$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s．

點評 該題通過渡河的模型考察了運動的合成與分解，關(guān)于渡河問題，應(yīng)注意幾種渡河方式，一是垂直渡河，此時渡河位移最短，但是所用時間不是最短的，此種情況要求船的合速度與河岸垂直，二是船頭始終指向?qū)Π兜亩珊�，此種情況下渡河時間最短，但是渡河位移不是最短；關(guān)于渡河問題，還要會判斷能否垂直渡河，其條件是船在靜水中的速度大小要大于河水流動的速度大�。�