Question

14．如圖所示，生產(chǎn)車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為2v₀．小工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大，重力加速度為g．
（1）若乙的速度為2v₀，求工件在乙上側(cè)向（ 垂直于乙的運動方向）滑過的距離 s；
（2）若乙的速度為4v₀，求工件在乙上剛停止側(cè)向滑動時的速度大小v；
（3）保持乙的速度4v₀不變，當(dāng)工件在乙上剛停止滑動時，下一只工件恰好傳到乙上，如此反復(fù)．若每個工件的質(zhì)量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計，求驅(qū)動乙的電動機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）工件滑動傳送帶乙，沿傳送帶方向相對傳送帶向后滑，垂直傳送帶方向相對傳送帶向前滑，可知摩擦力與側(cè)向的夾角為45度，根據(jù)牛頓第二定律得出側(cè)向的加速度，結(jié)合速度位移公式求出側(cè)向上滑過的距離．
（2）結(jié)合縱向加速度與側(cè)向加速度的比值與兩個方向上速度的變化量比值相同，得出摩擦力的方向保持不變，從而得出相對傳送帶側(cè)向速度為零，則相對傳送帶沿傳送帶方向速度為零，從而得出此時的速度大�。�
（3）結(jié)合工件在側(cè)向和沿乙方向上的加速度，結(jié)合速度位移公式得出在兩個方向上的位移，從而得出工件相對乙的位移，根據(jù)功能關(guān)系，求出電動機(jī)做功的大小，結(jié)合工件滑動的時間求出平均功率的大�。�

解答 解：（1）摩擦力與側(cè)向的夾角為45°，
側(cè)向加速度大小a_x=μgcos45°，
根據(jù)$-2{a}_{x}s=0-（2{{v}_{0}）}^{2}$，解得s=$\frac{2\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{μg}$．
（2）設(shè)t=0時刻摩擦力與側(cè)向的夾角為θ，側(cè)向、縱向加速度大小分別為a_x、a_y，
則$\frac{{a}_{y}}{{a}_{x}}=tanθ$，
很小的△t時間內(nèi)，側(cè)向、縱向的速度增量△v_x=a_x△t，△v_y=a_y△t，
解得$\frac{△{v}_{y}}{△{v}_{x}}=tanθ$．
且由題意知，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，則$\frac{{v}_{y}′}{{v}_{x}′}=\frac{{v}_{y}-△{v}_{y}}{{v}_{x}-△{v}_{x}}=tanθ$，
所以摩擦力方向保持不變，
則當(dāng)v_x′=0時，v_y′=0，即v=4v₀．
（3）工件在乙上滑動時側(cè)向位移為x，沿乙方向的位移為y，
由題意知，a_x=μgcosθ，a_y=μgsinθ，
在側(cè)向上$-2{a}_{x}s=0-{（4{v}_{0}）}^{2}$，在縱向上，$2{a}_{y}y={（4{v}_{0}）}^{2}-0$
工件滑動時間$t=\frac{4{v}_{0}}{{a}_{y}}$，乙前進(jìn)的距離y₁=4v₀t．
工件相對乙的位移L=$\sqrt{{x}^{2}+（{y}_{1}-y）^{2}}$，
則系統(tǒng)摩擦生熱Q=μmgL，
依據(jù)功能關(guān)系，則電動機(jī)做功：$W=\frac{1}{2}m{（4{v}_{0}）}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+Q$
由$\overline{P}=\frac{W}{t}$，解得$\overline{P}=\frac{8\sqrt{5}μmg{v}_{0}}{5}$．
答：（1）工件在乙上側(cè)向（垂直于乙的運動方向）滑過的距離為$\frac{2\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{μg}$．
（2）工件在乙上剛停止側(cè)向滑動時的速度大小v=4v₀．
（3）驅(qū)動乙的電動機(jī)的平均輸出功率是$\frac{8\sqrt{5}μmg{v}_{0}}{5}$．

點評 本題考查工件在傳送帶上的相對運動問題，關(guān)鍵將工件的運動分解為沿傳送帶方向和垂直傳送帶方向，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進(jìn)行求解，難度較大．