Question

18．在萬有引力定律研究太陽(yáng)系中的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可以根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期，求出地球的質(zhì)量．在運(yùn)算過程中，采用理想化方法，把太陽(yáng)和地球看成質(zhì)點(diǎn)，還做了把地球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)和忽略其它星體對(duì)地球的萬有引力的簡(jiǎn)化處理．有一人造天體飛臨某個(gè)行星，并進(jìn)入該行星的表面圓軌道，測(cè)出該天體繞行星運(yùn)行一周所用的時(shí)間為T，則這顆行星的密度是$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，且速率不等，而我們?cè)谔幚頃r(shí)，把地球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且忽略其它星體對(duì)地球的萬有引力，人造天體繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量，根據(jù)密度公式求出密度．

解答 解：地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，且在近日點(diǎn)速度比較快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度比較慢，而我們?cè)谔幚頃r(shí)，把地球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且忽略其它星體對(duì)地球的萬有引力，
研究人造天體繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
根據(jù)密度公式得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
聯(lián)立方程解得：$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案為：把地球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)；忽略其它星體對(duì)地球的萬有引力；$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．在行星表面運(yùn)動(dòng)，軌道半徑可以認(rèn)為就是行星的半徑