Question

11．“玉兔號”登月車在月球表面接觸的第一步實(shí)現(xiàn)了中國人“奔月”的偉大夢想．機(jī)器人“玉兔號”在月球表面做了一個(gè)自由落體試驗(yàn)，測得物體從靜止自由下落h高度的時(shí)間t，已知月球半徑為R，月球自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．則（　�。�

• A． 月球同步衛(wèi)星離月球表面高度$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R
• B． 月球第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Rh}{t}}$
• C． 月球質(zhì)量為$\frac{h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
• D． 月球表面重力加速度為$\frac{{t}^{2}}{2h}$

Answer 1

分析 月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，化簡可得月球同步衛(wèi)星離月球表面高度h．
根據(jù)重力提供向心力可以計(jì)算月球的第一宇宙速度．
根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，計(jì)算月球的質(zhì)量．
機(jī)器人自由下落h高度所用時(shí)間為t，根據(jù)：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出月球表面的重力加速度g．

解答 解：A、由自由落體運(yùn)動規(guī)律有：h=$\frac{1}{2}$gt²，所以有：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
所以M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$=$\frac{2{hR}^{2}}{{Gt}^{2}}$，
月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
解得h=$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故A正確，CD錯(cuò)誤．
B、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)重力提供向心力
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，所以v₁=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$，故B錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．本題重點(diǎn)是利用好月球表面的自由落體運(yùn)動，這種以在星球表面自由落體，或平拋物體，或豎直上拋物體給星球表面重力加速度的方式是比較常見的．