Question

2．如圖甲所示，豎直面MN的左側空間中存在豎直向上的勻強電場（上、下及左側無邊界）．一個質量為m、電荷量為q，可視為質點的帶正電小球，以水平初速度v₀沿PQ向右做直線運動．若小球剛經過D點時（t=0），在電場所在空間疊加如圖乙所示隨時間周期性變化、垂直紙面向里的勻強磁場，使得小球再次通過D點時與PQ連線成60°角．已知D、Q間的距離為（$\sqrt{3}$+1）L，t₀小于小球在磁場中做圓周運動的周期，忽略磁場變化造成的影響，重力加速度為g．求：

（1）電場強度E的大��；
（2）t₀與t₁的比值；
（3）小球過D點后將做周期性運動．則當小球運動的周期最大時，求出此時的磁感應強度B₀及運動的最大周期T_m的大小，并在圖中畫出此情形下小球運動一個周期的軌跡．

Answer 1

分析 （1）根據電場力與重力，二力平衡，即可求解；
（2）根據小球做勻速圓周運動的周期與半徑公式，結合幾何關系，即可求解；
（3）根據幾何關系，由牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1）小球在電場中做勻速直線運動，根據二力平衡，則有：mg=qE；
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球能再次通過D點，其運動軌跡如圖1所示，設圓弧半徑為r；
則有：s=v₀t；
由幾何關系，有s=$\frac{r}{tan30°}$；
設小球做圓周運動的周期為T，則：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$；
t₀=$\frac{2}{3}T$；
由以上式聯(lián)立可解得：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）當小球運動的周期最大時，其運動軌跡應與MN相切，如圖2所示，
由幾何關系，則有：R+$\frac{R}{tan30°}=（\sqrt{3}+1）L$；
由牛頓第二定律，則有：qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
最大周期  ${T}_{m}=\frac{s}{{v}_{0}}=\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$
小球運動一個周期的軌跡，如圖3所示，

答：（1）電場強度E的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）t₀與t₁的比值：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）小球過D點后將做周期性運動．則當小球運動的周期最大時，求出此時的磁感應強度B₀的大小B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；運動的最大周期T_m的大小$\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$，小球運動一個周期的軌跡如上圖所示．

點評 考查粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，掌握牛頓第二定律的應用，注意幾何關系的正確建立，理解二力平衡條件．