Question

3．如圖所示，長L=5.5m、質(zhì)量M=2kg的滑板A靜止在水平地面上，在滑板右端放一質(zhì)量m=1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），己知滑板A與地面的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2，滑塊B與A的動摩擦因數(shù)μ₂=0.1，可認(rèn)為A與地面、A與B間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g=10m/s²．試求：
（1）要將滑板從滑塊下抽出，施加在滑板上的水平拉力至少要大于多少？
（2）若施加的水平拉力F=11N，要便滑板從滑塊下抽出，F(xiàn)作用的最短時間；
（3）在（2）問條件下，水平拉力F做的功的最大功率和系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱．

Answer 1

分析 （1）隔離對m分析，結(jié)合牛頓第二定律求出發(fā)生相對滑動時的臨界加速度，對M分析，結(jié)合牛頓第二定律求出最小拉力；
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出撤去F前后M和m的加速度，抓住臨界狀態(tài)，即速度相等時m恰好滑到M的左端，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)功率公式P=Fv和功能關(guān)系求水平拉力F做的功的最大功率和系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱．

解答 解：（1）當(dāng)M和m剛好發(fā)生相對滑動時，隔離對m分析，加速度a₁=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=0.1×10=1m/s²．
隔離對M分析，根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-μ₁（M+m）g-μ₂mg=Ma₂，
當(dāng)a₂＞a₁時，滑板能夠從滑塊下抽出，
解得最小拉力為：F=（M+m）（a+μ₂g）=（2+1）×（2+1）N=9N．
（2）當(dāng)F=11N時，在F作用下，m的加速度a′₁=μ₂g=1m/s²，M的加速度a′₂=$\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g-{μ}_{2}mg}{M}$ $\frac{11-0.2（2+1）×10-0.1×1×10}{2}$=2m/s²，
設(shè)作用的最短時間為t，
則ts末m的速度v₁=a′₁t=t，m的位移x₁=$\frac{1}{2}$ a′₁t²=$\frac{1}{2}$t²，M的速度v₂=a′₂t=2t，M的位移x₂=$\frac{1}{2}$ a′₂t₂=t²，相對位移的大小△x₁=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$ t²，
撤去F后，m的加速度a₃=a₁=1m/s²，M的加速度大小a₄=$\frac{{μ}_{2}mg+{μ}_{1}（m+M）g}{M}$=$\frac{0.1×1×10+0.2×（2+1）×10}{2}$=3.5m/s²．
再經(jīng)過t′時間m和M的速度相等，此時m恰好滑到M的最左端，根據(jù)速度時間公式有：v₁+a₃t′=v₂-a₄t′，
解得t′=$\frac{2}{9}$t，
m的位移x₃=v₁t′+$\frac{1}{2}$ a₃t′²=$\frac{20}{81}$t²，M的位移x₄=v₂t′-$\frac{1}{2}$ a₄t′²=$\frac{29}{81}$t² ，相對位移的大小△x₂=x₄-x₃=$\frac{{t}^{2}}{9}$，
根據(jù)△x₁+△x₂=5.5m得，代入數(shù)據(jù)解得t=3s．
（3）撤去力F時，木板的速度最大，M的速度為：v₂=a′₂t=2t=2×3=6m/s，
最大功率為：P=Fv=11×6=66W
系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱為：Q=μ₂mg（△x₁+△x₂）+μ₁（m+M）g（x₂+x₄）=0.1×10×5.5+0.2×30×（3²+$\frac{29}{81}$×3²）≈78.8J
答：（1）F至少9N，才能將滑板從滑塊下抽出；
（2）當(dāng)F=11N時，F(xiàn)至少作用3s時間，木板恰好能從滑塊下滑出；
（3）在（2）問條件下，水平拉力F做的功的最大功率66W；系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱為78.8J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清木塊和木板的運(yùn)動情況，抓住理解狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式靈活求解，掌握整體法和隔離法的運(yùn)用．
注意系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于滑動摩擦力乘以相對位移．