Question

4．如圖所示，空間中第二、三象限存在電、磁場(chǎng)區(qū)域，以45°線分界線，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向垂直于分界線向上，一帶負(fù)電的離子在分界線上的A點(diǎn)以一定速度垂直分界線射入磁場(chǎng)區(qū)域，其軌跡在半個(gè)周期內(nèi)恰與y軸相切，已知A到原點(diǎn)O的距離為（1+$\sqrt{2}$）m，該負(fù)離子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁷C/kg，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.4T，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=$\frac{\sqrt{2}+1}{5}$×10⁶V/m，不計(jì)離子的重力．
（1）求負(fù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度v₁的大小．
（2）求負(fù)離子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)速度v₂的大�。�
（3）若t=0時(shí)刻從A點(diǎn)射入相同比荷的正離子，求自A點(diǎn)至粒子第三次通過(guò)分界線的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式求解速度．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后到x軸的距離，再根據(jù)動(dòng)能定理求出到達(dá)x軸的速度；
（3）若射入正離子，該離子先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)分界線，然后又做圓周運(yùn)動(dòng)，回到分界線，直到第3次回到分界線時(shí)，共在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了一個(gè)周期，在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)了一個(gè)來(lái)回，分別求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩者之和即為總時(shí)間．

解答 解：（1）負(fù)離子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)軌跡半徑為R：
根據(jù)幾何關(guān)系可知，AO=R+$\sqrt{2}$R
又 AO=（1+$\sqrt{2}$）m
解得：R=1m
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則有：
Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\frac{qBR}{m}$=10⁷×0.4×1=4×10⁶m/s
（2）負(fù)離子進(jìn)入電場(chǎng)后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的位移為：
x=AO-2R=（1+$\sqrt{2}$）m-2m=（$\sqrt{2}$-1）m，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=Eqx
解得：v₂=2$\sqrt{5}$×10⁶m/s
（3）若射入正離子，該離子先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)分界線，然后又做圓周運(yùn)動(dòng)．
所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{1{0}^{7}×0.4}$s=5π×10^-7 s
在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：t₂=2×$\frac{{v}_{1}}{a}$=2×$\frac{{v}_{1}}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2m{v}_{1}}{qE}$=$\frac{2×4×1{0}^{6}}{1{0}^{7}×\frac{\sqrt{2}+1}{5}×1{0}^{6}}$s=4（$\sqrt{2}$-1）×10^-6s
所以粒子從第一次到達(dá)分界線到第三次到達(dá)分界線的時(shí)間為：t=t₁+t₂=[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s
答：（1）負(fù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度v₁的大小為4×10⁶m/s．
（2）負(fù)離子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)速度v₂的大小為2$\sqrt{5}$×10⁶m/s．
（3）若t=0時(shí)刻從A點(diǎn)射入相同比荷的正離子，自A點(diǎn)至粒子第三次通過(guò)分界線的時(shí)間t為[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合題，考查了粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題，難度較大，屬于難題．