Question

7．如圖所示，光滑的水平面連接一個(gè)豎直平面內(nèi)的半圓形光滑軌道，其半徑為0.5m，小物體A（質(zhì)量為m）以速度v₀=15m/s與物體B（質(zhì)量為M）發(fā)生正碰后，物體A以v₁=5m/s的速度沿原路返回，求：
（1）要使物體B碰撞后，恰能沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，則兩物體的質(zhì)量之比$\frac{m}{M}$是多少？
（2）在上述條件下，物體B落回到水平面的位置距半圓形軌道底端的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）M恰好到達(dá)軌道最高點(diǎn)，支點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力提供，由牛頓第二定律可以求出質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)時(shí)的速度，M從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)時(shí)的速度，兩物體碰撞過(guò)程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出兩物體的質(zhì)量之比．
（2）物體B離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出物體的位置．

解答 解：（1）物體B恰好到達(dá)最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：Mg=M$\frac{{v}_{B}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=$\sqrt{5}$m/s，
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv²=Mg•2R+$\frac{1}{2}$Mv_B²，
代入數(shù)據(jù)解得：v=5m/s，
兩物體碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，以?xún)晌矬w組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，以物體m的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv₀=mv₁+Mv，
解得：$\frac{m}{M}$=$\frac{v}{{v}_{0}-{v}_{1}}$=$\frac{5}{15-（-5）}$=$\frac{1}{4}$；
（2）物體B離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
在水平方向：x=v_Bt，
代入數(shù)據(jù)解得：x=1m；
答：（1）要使物體B碰撞后，恰能沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，則兩物體的質(zhì)量之比$\frac{m}{M}$是1：4；
（2）在上述條件下，物體B落回到水平面的位置距半圓形軌道底端的距離是1m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求物體的質(zhì)量之比、求物體的水平位移，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律（或動(dòng)能定理）、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．