Question

19．如圖所示，寬度為L(zhǎng)的粗糙平行金屬導(dǎo)軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個(gè)阻值為R的電阻和開(kāi)關(guān)S，底端PP′處與一小段水平軌道用光滑圓弧相連．已知底端PP′離地面的高度為h，傾斜導(dǎo)軌處于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）中．若斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，將一根質(zhì)量為m、電阻為r、長(zhǎng)也為L(zhǎng)的金屬棒從AA′處?kù)o止開(kāi)始滑下，金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₁；若閉合開(kāi)關(guān)S，將金屬棒仍從AA′處?kù)o止開(kāi)始滑下，則金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₂．不計(jì)導(dǎo)軌電阻，忽略金屬棒經(jīng)過(guò)PP′處的能量損失，已知重力加速度為g，求：
（1）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，金屬棒離開(kāi)底端PP′的速度大��；
（2）開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，金屬棒在下滑過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）開(kāi)關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處?kù)o止開(kāi)始滑下，水平射程仍為x₂，請(qǐng)定性說(shuō)明金屬棒在傾斜軌道的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）金屬棒離開(kāi)底端PP′后，做平拋運(yùn)動(dòng)，已知水平距離和高度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，可以求出棒開(kāi)底端PP′的速度大小；
（2）開(kāi)關(guān)閉合后，金屬棒下滑時(shí)，需要克服安培力做功產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解；
（3）根據(jù)平拋的水平距離相等，說(shuō)明金屬棒離開(kāi)PP′時(shí)的速度相等，金屬棒在傾斜導(dǎo)軌上應(yīng)先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，金屬棒離開(kāi)底端PP′的速度大小為v₁，在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：
  x₁=v₁t
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，重力做功為W_G，摩擦力做功為W_F．
根據(jù)動(dòng)能定理：W_G+W_F=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$          
開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，金屬棒離開(kāi)底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，重力做功和摩擦力做功與開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)相同，安培力做功為W_安，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，
由動(dòng)能定理可得：W_G+W_F+W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
又因?yàn)镼=|W_安|
金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱 Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
聯(lián)立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}（{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）$．
（3）據(jù)題，開(kāi)關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處?kù)o止開(kāi)始滑下，水平射程仍為x₂，說(shuō)明金屬棒離開(kāi)PP′時(shí)的速度相等，則知金屬棒在傾斜導(dǎo)軌上先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)．
答：
（1）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，金屬棒離開(kāi)底端PP′的速度大小為x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，金屬棒在下滑過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}（{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）$；
（3）金屬棒在傾斜導(dǎo)軌上先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法，其次能運(yùn)用能量守恒定律求解熱量，都是常用的思路，平時(shí)要多加強(qiáng)這方面的練習(xí)，熟練掌握．