Question

10．如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R=$\frac{1}{4π}$m，兩輪軸心相距L=8.15m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑，一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．小物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡．當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無(wú)初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出．若傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₀=1.5m/s，求劃痕的長(zhǎng)度？

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律，抓住物體相對(duì)滑動(dòng)所受的摩擦力沿斜面向下，求出勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度的大�。�根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度達(dá)到傳送帶速度時(shí)的時(shí)間和位移，根據(jù)牛頓第二定律求出繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)位移時(shí)間公式求出繼續(xù)勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，物體速度達(dá)到傳送帶前相對(duì)傳送帶向上滑，速度達(dá)到傳送帶速度后相對(duì)傳送帶向下滑，結(jié)合相對(duì)位移的大小關(guān)系確定最終的相對(duì)位移大小，即痕跡的長(zhǎng)度．

解答 解：物體開始階段勻加速下滑，根據(jù)牛頓第二定律得其加速度為：
 a₁=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{m}$=gsin30°+μgcos30°=5+$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7.5m/s²．
物體速度達(dá)到傳送帶速度的時(shí)間為：
 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{1.5}{7.5}$s=0.2s，
運(yùn)動(dòng)的位移為：
 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×7.5×0．{2}^{2}$m=0.15m．
速度達(dá)到傳送帶速度后，由于mgsin30°＞μmgcos30°，所以物體繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：
 a₂=$\frac{mgsin30°-μmgcos°}{m}$=gsin30°-μgcos30°=5-$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.5m/s²．
根據(jù)L-x₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²代入數(shù)據(jù)得：t₂=2s
物體速度達(dá)到傳送帶速度前，相對(duì)滑動(dòng)的位移為：
△x₁=v₂t₁-x₁=1.5×0.2m-0.15m=0.15m，
達(dá)到傳送帶速度后相對(duì)滑動(dòng)的位移大小為：
△x₂=x₂-v₀t₂=8.15-0.15-1.5×2m=5m，
可知相對(duì)滑動(dòng)的位移為：△x=△x₁+△x₂=5.15m，則劃痕的長(zhǎng)度為5.15m．
答：劃痕的長(zhǎng)度為5.15m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體在傳送帶上整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，要注意劃痕的長(zhǎng)度等于物體與傳送帶間的相對(duì)位移大小，不等于物體相對(duì)于地的位移大�。�