Question

11．質(zhì)量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動，小車與圓軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，則小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中克服摩擦力所做的功為πμmv²．

Answer 1

分析 小車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程，由于軌道的支持力是變力，所以所受的摩擦力也是變力，不能根據(jù)功的公式求克服摩擦力做功，可用微元法求解．

解答 解：如圖，將小車運(yùn)動的半個圓周均勻細(xì)分成n（n→∞）等分，在每段長$\frac{πR}{n}$的圓弧上運(yùn)動時(shí)，可認(rèn)為軌道對小車的支持力N_i不變，因而小車所受的摩擦力f_i不變，摩擦力的功可以用 W=Fs計(jì)算．
當(dāng)小車運(yùn)動到如圖所示的A處圓弧時(shí)有：
N_iA-mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
則有：f_iA=μN(yùn)_iA=μ（mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$）
W_iA=μ（mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$）$\frac{πR}{n}$
當(dāng)小車運(yùn)動到如圖所示的與A關(guān)于x軸對稱的B處圓弧時(shí)，有：
N_iB+mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
則 f_iB=μN(yùn)_iB=μ（m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ）
W_iB=μ（m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ）$\frac{πR}{n}$
由此，小車關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為
W_i=2μm$\frac{{v}^{2}}{R}$•$\frac{πR}{n}$
則知，小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中克服摩擦力所做的總功為
W=$\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}$W_i=$\frac{n}{2}•\frac{2πμm{v}^{2}}{n}$=πμmv²
故答案為：πμmv²．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要運(yùn)用微元法求變力做功，要知道摩擦力是變力，不能直接根據(jù)功的公式計(jì)算其做功．