Question

2．宇航員在太空中待久了由于失重使其身體肌肉變得虛弱，有人設(shè)想為了防止航天器中的宇航員的身體肌肉變得虛弱而用旋轉(zhuǎn)的離心力模擬重力，其原理就是讓太空艙旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生離心力，讓里面的人和物體像受到重力一樣，但是如果太空艙的旋轉(zhuǎn)角速度大于0.2rad/s人就會感到頭暈，已知地球半徑R=6.4×10³km，地面表面重力加速度g取10m/s²，試問：
（1）若航天器繞地球做勻速圓周運動時，宇航員對航天器側(cè)壁的壓力與在地面上對地面的壓力相等，且不感到頭暈，則太空艙的半徑至少為多大？
（2）若航天器在離地面距離也為R的高空中繞地球做勻速圓周運動，則航天器的運動周期有多大？
（3）若航天器繞地球做勻速圓周運動，航天器中的太空艙直徑d=5m，要使太空艙中的宇航員不感到頭暈且其自轉(zhuǎn)的加速度與航天器繞地球公轉(zhuǎn)的加速度大小相等，則航天器離地面至少多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)角速度最大時所對應(yīng)的半徑最小，應(yīng)用向心力公式求出太空艙的半徑．
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出航天器的周期．
（3）應(yīng)用向心加速度公式求出加速度，航天器繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出航天器的軌道半徑，然后求出航天器距地面的高度．

解答 解：（1）宇航員對航天器側(cè)壁的壓力與在地面上對地面的壓力相等，
則：mω²r=mg，r=$\frac{g}{{ω}^{2}}$=$\frac{10}{0．{2}^{2}}$=250m；
（2）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
航天器繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+R）^{2}}$=m$（{\frac{2π}{T}）}^{2}$（R+R），
解得：T=3200$\sqrt{2}$πs；
（3）加速度：a=ω²r′=0.2²×$\frac{5}{2}$=0.1m/s²，
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
航天器繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：r=10R=6.4×10⁴km，
航天器離地面的高度：h=r-R=5，76×10⁴km；
答：（1）太空艙的半徑至少為250m．
（2）航天器的運動周期為3200$\sqrt{2}$πs．
（3）航天器離地面至少5.76×10⁴km．

點評 本題考查了求太空艙的半徑、航天器的周期、航天器距地面的高度，應(yīng)用向心加速度公式、萬有引力公式、牛頓第二定律即可解題，解題時注意“黃金代換”應(yīng)用．