Question

7．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)）以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與+x方向成θ角射入第一象限，并從x軸上x₁=a的A點(diǎn)離開第一象限區(qū)，速度方向與+x方向也成θ角．
（1）若在xOy平面存在一電場，帶電粒子在電場力作用下沿圓弧勻速率從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，θ=30°，求O點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小E和粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間t．
（2）若只有第一象限內(nèi)存在一垂直于xOy平面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，且θ=45°，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀．
（3）若只存在一垂直于xOy平面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是可以調(diào)節(jié)的，且滿足0≤B≤B_m，θ=30°，求圓形磁場區(qū)的最小半徑r₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡的長度，再根據(jù)粒子勻速運(yùn)動(dòng)可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的大��；
（2）磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大，當(dāng)磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度最��；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子在磁場中的半徑，由洛倫茲力作為向心力可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的半徑的大小．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：r₁=x₁=a，
粒子在電場中偏轉(zhuǎn)2θ=$\frac{π}{3}$，
由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，
qE=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，t=$\frac{2θr}{{v}_{0}}$，解得 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qa}$，t=$\frac{aπ}{3{v}_{0}}$；
（2）如圖所示，圓形磁場區(qū)只限于第一象限內(nèi)，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大．
當(dāng)磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，設(shè)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)半徑為r₃，則：r₃=$\frac{a}{2}$，
qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{3}}$，
解得：B₀=$\frac{2m{v}_{0}}{qa}$；
（3）如圖所示，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為r₂，則有：
qv₀B_m=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$，r₀=$\frac{{r}_{2}}{2}$，
解得：r₀=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{m}}$；
答：（1）O點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qa}$，粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間t為$\frac{aπ}{3{v}_{0}}$．
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀為$\frac{2m{v}_{0}}{qa}$．
（3）圓形磁場區(qū)的最小半徑r₀為$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵；要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．