Question

6．在桌面上有一倒立的底面半徑為2r玻璃圓錐，其頂點(diǎn)恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過(guò)軸線的截面為等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為1.5，光在真空中的速度為c．求：
（1）畫(huà)出完整光路圖（不考慮二次反射），并求光束射出玻璃圓錐的折射角：
（2）光束穿越玻璃圓錐的時(shí)間：
（3）光束在桌面上形成的光斑半徑．

Answer 1

分析 （1）、（3）當(dāng)半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，經(jīng)過(guò)第一次折射時(shí)，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當(dāng)?shù)诙�次折射時(shí)，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為1.5，可得臨界角小于45°，所以會(huì)發(fā)生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出．故可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑．
（2）根據(jù)幾何知識(shí)求出光在圓錐內(nèi)通過(guò)的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光在圓錐內(nèi)的速度，再由t=$\frac{s}{v}$求時(shí)間．

解答 解：（1）、（3）畫(huà)出完整光路圖如圖所示．
設(shè)圓錐的臨界角為C，則sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{2}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則 C＜45°．
經(jīng)過(guò)第一次折射時(shí)，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當(dāng)?shù)诙�次折射時(shí)，由于入射角等于60°．所以會(huì)發(fā)生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出折射角為0°．
因?yàn)镺N等于r，則OA等于2r，由于∠MOA=∠AMO=30°，所以AM等于2r．即光斑半徑為2r．
（2）光在圓錐內(nèi)通過(guò)的路程為 S=rsin60°+2r=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r
光在圓錐內(nèi)傳播速度 v=$\frac{c}{n}$
故光束穿越玻璃圓錐的時(shí)間為 t=$\frac{s}{v}$
聯(lián)立解得 t=$\frac{（2+\sqrt{3}）r}{3c}$
答：（1）畫(huà)出完整光路圖如圖，光束射出玻璃圓錐的折射角是0°．
（2）光束穿越玻璃圓錐的時(shí)間是$\frac{（2+\sqrt{3}）r}{3c}$．
（3）光束在桌面上形成的光斑半徑是2r．

點(diǎn)評(píng) 本題要理解記住愛(ài)因斯坦相對(duì)論效應(yīng)之一：鐘慢效應(yīng)．要能運(yùn)用波形平移法判斷質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向．對(duì)于幾何光學(xué)，要借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時(shí)利用幾何關(guān)系來(lái)輔助計(jì)算．