Question

4．天王星是從太陽系由內(nèi)向外的第七顆行星，有很多衛(wèi)星．已知一顆衛(wèi)星繞天王星做勻速圓周運動，它離天王星表面的高度h，運動周期為T，天王星的半徑為R，試求：
（1）該衛(wèi)星運行速度；
（2）天王星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與周期的關(guān)系$v=\frac{2πr}{T}$直接求解；
（2）天王星的第一宇宙速度為繞天王星表面做勻速圓周運動時的速度，由萬有引力提供向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)線速度與周期的關(guān)系$v=\frac{2πr}{T}$得：
該衛(wèi)星運行速度v=$\frac{2π（R+h）}{T}$
（2）在天王星表面繞天王星做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v′}^{2}}{R}$①
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$②
由①②解得：
v′=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}R}}$
答：（1）該衛(wèi)星運行速度為$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）天王星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}R}}$．

點評 本題主要考查了向心力公式以及線速度與周期的關(guān)系公式的直接應(yīng)用，知道第一宇宙速度的含義，明確天王星的第一宇宙速度為繞天王星表面做勻速圓周運動時的線速度，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．