Question

8．如圖所示，相距為L的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，與水平面的夾角為θ，金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)．導(dǎo)軌上有質(zhì)量為m、電阻為R的兩根相同的導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒MN上方軌道粗糙、導(dǎo)體棒MN所在位置及下方軌道光滑，整個(gè)空間存在垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．將兩根導(dǎo)體棒同時(shí)釋放后，觀察到導(dǎo)體棒MN下滑而EF保持靜止，當(dāng)MN下滑x距離后恰好達(dá)到最大速度時(shí)，EF與軌道間的摩擦力也剛好達(dá)到最大靜摩擦力．求：
（1）導(dǎo)體棒MN的最大速度及EF所受最大靜摩擦力各是多少；
（2）如果導(dǎo)體棒MN從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x距離后恰好達(dá)到最大速度，這一過程回路中通過導(dǎo)體棒MN橫截面的電荷量及導(dǎo)體棒MN產(chǎn)生的電熱是多少．

Answer 1

分析 （1）MN棒下滑時(shí)EF棒靜止．MN棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)速度達(dá)到最大，由平衡條件求出最大速度．由平衡條件得出EF所受最大靜摩擦力．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求電荷量．由能量守恒求熱量．

解答 解：（1）由題意可知，導(dǎo)體棒MN切割磁感線，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，回路中的電流I=$\frac{E}{2R}$
MN受到的安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，故MN沿斜面做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MN受到的安培力大小等于其重力沿軌道方向的分力時(shí)，速度達(dá)到最大值，此后MN做勻速運(yùn)動(dòng)．故導(dǎo)體棒MN受到的最大安培力為mgsin θ，導(dǎo)體棒MN的最大速度為 v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
由于當(dāng)MN下滑速度最大時(shí)，EF與軌道間的摩擦力剛好達(dá)到最大靜摩擦力，由力的平衡知識(shí)可知EF與軌道之間的最大靜摩擦力為 2mgsin θ．
（2）這一過程回路中通過導(dǎo)體棒MN橫截面的電荷量 q=$\overline{I}△$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$△t=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BxL}{2R}$
設(shè)這一過程回路中導(dǎo)體棒MN產(chǎn)生的電熱是Q，由能量守恒定律有
 mgsin θ•x=$\frac{1}{2}$mv²+2Q
解得Q=$\frac{1}{2}$mgxsin θ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）導(dǎo)體棒MN的最大速度及EF所受最大靜摩擦力各是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$和2mgsin θ．
（2）通過導(dǎo)體棒MN橫截面的電荷量是$\frac{BxL}{2R}$，導(dǎo)體棒MN產(chǎn)生的電熱是$\frac{1}{2}$mgxsin θ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)質(zhì)是單棒運(yùn)動(dòng)類型，關(guān)鍵要分析MN棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)平衡條件和能量守恒定律解答．