Question

18．如圖所示，兩個星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，星球A，B運(yùn)動的線速度大小分別為v₁和v₂，星球B與O點(diǎn)之間的距離為L，已知A，B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常數(shù)為G，求：
（1）兩星球做圓周運(yùn)動的周期
（2）星球A，B的總質(zhì)量．

Answer 1

分析 該題屬于雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離．代入公式即可解答

解答 解：（1）A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期，根據(jù)周期和線速度的關(guān)系得：$T=\frac{2πL}{{v}_{2}}$，
（2）設(shè)A到O的距離為R，根據(jù)v₁=ωR，v₂=ωL，解得：$R=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}L$
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
對A星球，$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{（R+L）^{2}}={m}_{A}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
對B星球，$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{{（R+L）}^{2}}={m}_{B}\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$
解得：m_A+m_B=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）^{2}L+{{v}_{2}}^{2}（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）^{2}L}{G}$
答：（1）兩星球做圓周運(yùn)動的周期為$\frac{2πL}{{v}_{2}}$；
（2）星球A，B的總質(zhì)量為$\frac{{v}_{1}{v}_{2}{（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）}^{2}L+{{v}_{2}}^{2}{（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）}^{2}L}{G}$．

點(diǎn)評 該題屬于雙星問題，有兩星球之間的萬有引力提供向心力，知道兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當(dāng)成軌道半徑．