Question

2．如圖所示，圓形區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)電荷量為q，質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑AC的方向射入磁場(chǎng)，射入點(diǎn)到直徑AC的距離為磁場(chǎng)區(qū)域半徑的一半，粒子從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)的速率為v，不計(jì)粒子的重力．求
（1）粒子在磁場(chǎng)中加速度的大�。�
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子以2v的速率射入，在磁場(chǎng)中發(fā)生位移的大小．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可以求出加速度；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，然后求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）由牛頓第二定律求出粒子軌道半徑，然后根據(jù)幾何關(guān)系來計(jì)算在磁場(chǎng)中發(fā)生位移的大�。�

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力作用，則Bqυ=ma  
解得：$a=\frac{Bqυ}{m}$；
（2）如圖甲所示，
由幾何關(guān)系可得粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)60°，則
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{1}{6}T$，
解得：$t=\frac{1}{6}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{3Bq}$
（3）當(dāng)粒子以速率為v從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示．由幾何關(guān)系可知圓形區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的半徑R與粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r相等．有：$Bqυ=m\frac{υ^2}{r}$，
R=$r=\frac{mυ}{Bq}$，

當(dāng)粒子以2v的速率射入時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2r，如圖乙所示．
由幾何關(guān)系可得∠OEO₂=120°，設(shè)∠EOO₂=α，則∠EO₂O=60°-α，有
Rsinα=2rsin（60°-α）=2r（sin60°cosα-cos60°sinα）
解得tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
可換算得sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
所求的位移x=2Rsinα=$\frac{2\sqrt{21}mv}{7Bq}$
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中加速度的大小為$\frac{Bqυ}{m}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{3Bq}$；
（3）粒子以2v的速率射入，在磁場(chǎng)中發(fā)生位移的大小為$\frac{2\sqrt{21}mv}{7Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律、周期公式即可正確解題．