Question

12．AB兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，被一輕桿AB固定，輕桿長AB=L，OA=$\frac{L}{3}$，桿可繞O點(diǎn)的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿靜止在豎直位置，如圖所示，今在B球上施加一水平方向恒力F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，試求：
（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中B球獲得的最大速度為是多少？
（2）AB桿與豎直方向的最大夾角為多大．

Answer 1

分析 （1）B球獲得最大速度時(shí)，系統(tǒng)處于力矩平衡狀態(tài)，根據(jù)力矩平衡列式即可求解最大夾角；設(shè)B球最大速度為v，則此時(shí)A球的速度應(yīng)為$\frac{v}{2}$，根據(jù)動(dòng)能定理列式即可求解v．
（2）由動(dòng)能定理求最大偏角．

解答 解：（1）B球獲得最大速度時(shí)，系統(tǒng)處于力矩平衡狀態(tài)，設(shè)桿和豎直方向夾角為θ，應(yīng)有：
  mg$\frac{L}{3}$sinθ+F$•\frac{2}{3}$Lcosθ=mg$•\frac{2L}{3}$sinθ，
可得 θ=60°；
設(shè)B球最大速度為v，則此時(shí)A球的速度應(yīng)為$\frac{v}{2}$，根據(jù)動(dòng)能定理得：
F•$\frac{2}{3}$Lsinθ-mg•$\frac{2L}{3}$（1-cosθ）+mg•$\frac{L}{3}$（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v）²，
解得：v=$\sqrt{\frac{8}{15}gL}$．
（2）設(shè)AB桿與豎直方向的最大夾角為α．
根據(jù)動(dòng)能定理得：
  F•$\frac{2}{3}$Lsinα-mg•$\frac{2L}{3}$（1-cosα）+mg•$\frac{L}{3}$（1-cosα）=0
將F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，代入解得：α=120°（另一值不合理，舍去）
答：
（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中B球獲得的最大速度為是$\sqrt{\frac{8}{15}gL}$．
（2）AB桿與豎直方向的最大夾角為120°．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析出小球速度最大的條件：力矩平衡，運(yùn)用力矩平衡條件和動(dòng)能定理結(jié)合解答，要注意兩球高度變化的不同．