Question

20．如圖所示，在封閉圓柱形筒頂部中心O點(diǎn)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，繩的下端掛有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓筒半徑R=3L，繩能承受的最大拉力T_m=2mg．當(dāng)小球速度緩慢地增大到繩斷裂后，小球恰好落到圓筒邊緣．（小球不與圓筒壁碰撞，忽略空氣阻力，重力加速度為g，結(jié)果可用根式表示）求：
（1）繩斷裂瞬間小球的速率v₀；
（2）繩斷裂后小球被拋出到落到圓筒邊緣的時(shí)間t；
（3）圓筒的高度H；
（4）小球落到筒底時(shí)的速率v．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面仙做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）小球在繩子斷開后做平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系結(jié)合x=vt即可求出小球被拋出到落到圓筒邊緣的時(shí)間t；
（3）結(jié)合h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$即可求出H；
（4）根據(jù)動(dòng)能定理求得小球落到筒底時(shí)的速率v．

解答 解：（1）分析小球的受力情況，
豎直方向有：Tcosθ=mg
水平方向有：Tsinθ=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Lsinθ}$
聯(lián)立解得：θ=60°，v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）由幾何知識(shí)得：
R=$\sqrt{{（Lsinθ）}^{2}+{（{v}_{0}t）}^{2}}$=3L
代入數(shù)據(jù)得：t=$\sqrt{\frac{11L}{2g}}$
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又：H=Lcos60°+h
解得h=$\frac{11}{4}L$
所以H=h+Lcosθ=$\frac{13}{4}$L
（4）由動(dòng)能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{7gL}$
答：（1）繩斷裂瞬間小球的速率是$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$；
（2）繩斷裂后小球被拋出到落到圓筒邊緣的時(shí)間是$\sqrt{\frac{11L}{2g}}$；
（3）圓筒的高度是$\frac{11}{4}L$；
（4）小球落到筒底時(shí)的速率是$\sqrt{7gL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．