Question

1．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅲ、Ⅳ象限內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一帶正電粒子M在y軸上的P點(diǎn)沿x軸正向射入電場(chǎng)，偏出電場(chǎng)后經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，再經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰能回到原點(diǎn)O．已知M粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，方向與x軸成30°角，粒子的電量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力．求：
（1）M粒子在P點(diǎn)的入射速度
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小
（3）在Q點(diǎn)的正上方L=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$處?kù)o止釋放一相同的帶電粒子N，若二者恰好能在磁場(chǎng)中的某位置相遇，求N粒子需要在M粒子離開(kāi)P點(diǎn)后多長(zhǎng)時(shí)間釋放．

Answer 1

分析 （1）M粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由速度的分解可求得入射速度．
（2）M粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求出OQ間的距離．再研究其電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，由牛頓第二定律和豎直分速度公式結(jié)合，可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小．
（3）N粒子先經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速，再進(jìn)入磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，先由動(dòng)能定理求出加速獲得的速度，再畫出兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡，由幾何關(guān)系得到軌跡的交點(diǎn)，即它們?cè)诖艌?chǎng)中的相遇點(diǎn)，找到磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，可求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再結(jié)合電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求解．

解答 解：（1）M粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由速度分解可得：v_P=vcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
（2）M粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得：R=$\frac{mv}{qB}$
設(shè)OQ間的距離為L(zhǎng)，由幾何關(guān)系可得：
L=2Rsin30°=R=$\frac{mv}{qB}$
在電場(chǎng)中，有：L=v_Pt，v_y=vsin30°=at
由牛頓第二定律得：qE=ma
聯(lián)立可得：E=$\frac{\sqrt{3}}{4}$Bv
（3）N粒子，在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
又L=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$，且 L=$\frac{mv}{qB}$
可得：v′=v
兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中的半徑和OQ的長(zhǎng)度均相等，且N粒子垂直x軸射入磁場(chǎng)，則其軌跡圓心在O點(diǎn)，如圖，由幾何關(guān)系可知，二者的軌跡相遇點(diǎn)、入射點(diǎn)Q和兩個(gè)圓心四個(gè)點(diǎn)正好構(gòu)成一個(gè)菱形，且有一個(gè)角為120°．
兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 T=$\frac{2πm}{qB}$
 M粒子到相遇點(diǎn)的時(shí)間為：t_M=$\frac{L}{{v}_{P}}$+$\frac{2}{3}$T=$\frac{L}{{v}_{P}}$+$\frac{4πm}{3qB}$
 N粒子到相遇點(diǎn)的時(shí)間為：t_N=$\frac{2L}{v′}$+$\frac{1}{3}$T=$\frac{2L}{v′}$+$\frac{2πm}{3qB}$
則△t=t_M-t_N=$\frac{2πm}{3qB}$-$\frac{2\sqrt{3}m}{3qB}$=（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$
即N粒子需要在M粒子離開(kāi)P點(diǎn)后（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$時(shí)間釋放．
答：（1）M粒子在P點(diǎn)的入射速度為$\frac{\sqrt{3}}{2}$v．
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{\sqrt{3}}{4}$Bv．
（3）N粒子需要在M粒子離開(kāi)P點(diǎn)后（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$時(shí)間釋放．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，抓住等時(shí)性結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，會(huì)確定圓心、半徑和圓心角，根據(jù)圓心角來(lái)確定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．