Question

10．《割繩子》是一款風(fēng)靡世界的休閑游戲．玩家需要通過(guò)剪斷繩索，讓綁著的糖果掉入怪獸嘴里．如圖是其中的某個(gè)關(guān)卡，開(kāi)始時(shí)，一端連有糖果的繩索處于水平狀態(tài)，另一端固定在O點(diǎn)上，繩索長(zhǎng)度為R，圖中的怪獸A相對(duì)O點(diǎn)水平和豎直位移分別為R和2R，怪獸B位于O點(diǎn)正上方R處，C處為噴氣裝置，可為糖果提供水平向右的動(dòng)力或者阻力，該裝置相對(duì)O點(diǎn)的豎直位移為R，已知糖果質(zhì)量為m，重力加速度為g，題中涉及物體都可視作質(zhì)點(diǎn)處理，糖果由水平位置開(kāi)始靜止釋放，回答下列問(wèn)題：
（1）糖果運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其對(duì)繩子的拉力為多大？
（2）試通過(guò)分析說(shuō)明，糖果運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，剪短繩索，能否被怪獸A吃到．若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，則計(jì)算說(shuō)明怪獸A在同一高度的什么位置才能吃到糖果．
（3）顯然，噴氣裝置提供額外的能量之后，糖果才有可能被怪獸B吃到，請(qǐng)問(wèn)這部分額外能量最少為多少？

Answer 1

分析 （1）糖果向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可求出它運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度．在最低點(diǎn)，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求繩子對(duì)糖果的拉力，從而得到糖果對(duì)繩子的拉力．
（2）糖果運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，剪短繩索后，糖果做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出糖果下落2R高度時(shí)的水平位移，再進(jìn)行判斷．
（3）糖果恰好被怪獸B吃到時(shí)，糖果應(yīng)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，到最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，由機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度，再由能量守恒定律求噴氣裝置提供額外的能量．

解答 解：（1）糖果向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，v₁=$\sqrt{2gR}$
在最低點(diǎn)，以糖果為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：
T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：T=3mg
由牛頓第三定律得知，糖果運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩子的拉力為3mg．
（2）糖果運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，剪短繩索后，糖果開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
下落2R時(shí)，水平位移為：x=v₁t=2$\sqrt{2}$R
因?yàn)?x＞R，所以糖果不能被怪獸A吃到，怪獸A在同一高度離O的水平距離為2$\sqrt{2}$R的位置才能吃到糖果．
（3）糖果恰好被怪獸B吃到時(shí)，在最高點(diǎn)，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
設(shè)這種情況下，糖果在最低點(diǎn)的速度為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
可得：v₂=$\sqrt{5gR}$
所以，噴氣裝置提供額外的能量為：E=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=1.5mgR
答：（1）糖果運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩子的拉力為3mg．
（2）糖果不能被怪獸A吃到，怪獸A在同一高度離O的水平距離為2$\sqrt{2}$R的位置才能吃到糖果．
（3）噴氣裝置提供額外的能量為1.5mgR．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)，要理清糖果的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的規(guī)律，知道圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合能量守恒定律研究．