Question

10．“伽利略”木星探測器，從1989年10月進入太空起，歷經(jīng)6年，行程37億千米，終于到達木星周圍，此后在t秒內(nèi)繞木星運行N圈后，對木星及其衛(wèi)星進行考察，最后墜入木星大氣層燒毀，設(shè)這N圈都是繞木星在同一圈周上運行，其運行速率為v，探測器上的照相機正對木星拍攝整個木星時的視角為θ（如圖所示），設(shè)木星為一球體，求：
（1）木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑；
（2）木星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t秒內(nèi)繞木星運行N圈得出木星探測器的周期，根據(jù)v=$\frac{2πr}{T}$得出木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑；
（2）水平拋出的最小速度等于木星的第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小，根據(jù)探測器軌道半徑與線速度的關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系得出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：（1）探測器的線速度：v=$\frac{2πr}{T}$，
則探測器的軌道半徑：r=$\frac{vT}{2π}$，
由題意可知，周期：T=$\frac{t}{N}$，
解得：r=$\frac{vt}{2πN}$；
（2）探測器在圓形軌道上運行時，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
設(shè)木星的第一宇宙速度為：v₀，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{r}{R}}$v，
由題意可知：R=rsin$\frac{θ}{2}$，
解得：v₀=$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$；
答：（1）木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑為$\frac{vt}{2πN}$；
（2）木星的第一宇宙速度為$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．