Question

4．在有“科學(xué)界奧斯卡”之稱(chēng)的美國(guó)《科學(xué)》雜志2003 年度世界科技大突破評(píng)選中，物理學(xué)中的“證明宇宙是由暗物質(zhì)和暗能量‘主宰’”的觀點(diǎn)名列榜首，成為當(dāng)今科技突破中的頭號(hào)熱點(diǎn)．世界科技的發(fā)展顯示，暗物質(zhì)、暗能量正成為天體物理學(xué)研究的重點(diǎn)．宇宙中的暗物質(zhì)是不能直接觀測(cè)到的東西，存在的依據(jù)來(lái)自子螺旋轉(zhuǎn)的星系和星團(tuán)，這些星系和星團(tuán)以自身為中心高速旋轉(zhuǎn)而沒(méi)有飛散開(kāi)去，僅靠自身質(zhì)量產(chǎn)生的引力是遠(yuǎn)不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質(zhì)，它的吸引力足以把這些旋轉(zhuǎn)的星系牢牢抓�。�根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定該雙星系統(tǒng)中每一個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L （L遠(yuǎn)大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線(xiàn)的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．（已知引力常量為G）
（1）若沒(méi)有其他物質(zhì)存在，試推算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₀
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)′，且T′：T₀=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．為了解釋觀測(cè)周期T′和（1 ）中理論上推算的雙星運(yùn)動(dòng)的周期T 不同，目前有一種理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種用望遠(yuǎn)鏡也觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線(xiàn)為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析 （1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線(xiàn)的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相互間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期T．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線(xiàn)為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬(wàn)有引力的暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解其密度．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
解得：
${T}_{0}=πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）設(shè)暗物質(zhì)的質(zhì)量為M′，重心在O點(diǎn)，由萬(wàn)有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{{M}^{′}M}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$，
T′：T₀=1：$\sqrt{N}$，
解得：
$M′=M\frac{N-1}{4}$，
該星系間這種暗物質(zhì)的密度為：
$ρ=\frac{M′}{\frac{1}{6}π{L}^{3}}=\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期是$πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于雙星問(wèn)題和暗物質(zhì)問(wèn)題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來(lái)源．若雙星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不在連線(xiàn)的中點(diǎn)，要采用隔離法研究．