Question

15．如圖所示，在水平面上固定一個氣缸，缸內(nèi)由質(zhì)量為m的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，活塞與缸壁間無摩擦且無漏氣，活塞到氣缸底距離為L₀，今有一質(zhì)量也為m的重物自活塞上方h高處自由下落到活塞上并立即以碰前速度的$\frac{1}{2}$與活塞一起向下運動，向下運動過程中活塞可達到的最大速度為v，求從活塞開始向下移動到達到最大速度的過程中活塞對封閉氣體做的功．（被封閉氣體溫度不變，外界大氣壓強為P₀）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，判斷出當活塞受到的合外力為0時，活塞向下運動的速度最大，然后又功能關(guān)系得出重物到達活塞時的速度，以及重物與活塞碰撞后活塞的速度，最后結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程即可求出結(jié)果．

解答 解：重物自由下落重力勢能轉(zhuǎn)化為動能：$mgh=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
碰后速度為$\frac{1}{2}{v_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{2}$
以封閉氣體為對象，有p₁SL₀=p₂S（L₀-△L）
初態(tài)對活塞：p₁S-mg-p₀S=0
最大速度對活塞與重物：p₂S-p₀S-2mg=0
對活塞和重物為對象，由動能定理，從碰撞后到最大速度，有：$2mg△L+{P_0}S△L+W=\frac{1}{2}2m{v^2}-\frac{1}{2}2m{（\frac{1}{2}{v_0}）^2}$
解得：$W=m{v^2}-mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）$
所以：活塞對氣體做功為$W'=mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）-m{v^2}$
答：活塞對封閉氣體做的功是$mg（{L}_{0}+\frac{1}{2}h）-m{v}^{2}$．

點評 該題不僅僅涉及了則氣體的狀態(tài)方程，還涉及到功能關(guān)系以及牛頓第二定律的動態(tài)分析，解題的關(guān)鍵是找出活塞的速度最大對應的受力的狀態(tài)以及氣體對應的狀態(tài)．