Question

3．如圖所示，小球的質(zhì)量為m，沿光滑的彎曲軌道滑下，與彎曲軌道相接的圓軌道的半徑為R，軌道的形狀如圖所示，要使物體沿光滑圓軌道到最高點(diǎn)的速度為2$\sqrt{gR}$，求：
（1）物體離軌道最低處的h應(yīng)為多少？
（2）最高點(diǎn)物體對軌道的壓力為多少？
（3）如改變下落高度h，確保小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，下落高度h的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）物體下滑時(shí)只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得物體下滑時(shí)的高度h；
（2）小球在最高點(diǎn)豎直方向所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由此求得物體對軌道的壓力；
（3）小球在圓軌道上能經(jīng)過最高點(diǎn)的臨界條件$v≥\sqrt{gR}$，由動(dòng)能定理求得小球的下落高度的最小值．

解答 解：（1）小球在光滑的軌道上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
代入$v=2\sqrt{gR}$
可得：h=4R
（2）在最高點(diǎn)以小球?yàn)檠芯繉ο笤谪Q直方向所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
N+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球受到的軌道壓力N=$m\frac{{v}^{2}}{R}-mg=m\frac{（2\sqrt{gR}）^{2}}{R}-mg=3mg$
根據(jù)牛頓第三定律可知，物體對軌道的壓力為3mg；
（3）小球能在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度$v′=\sqrt{gR}$，根據(jù)動(dòng)能定理可知，物體下滑的最小高度滿足：
$mg（{h}_{min}-2R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-0$
解得h_min=$\frac{5}{2}R$
答：（1）物體離軌道最低處的h應(yīng)為4R；
（2）最高點(diǎn)物體對軌道的壓力為3mg；
（3）如改變下落高度h，確保小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，下落高度h的最小值為$\frac{5}{2}R$．

點(diǎn)評 本題考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合，關(guān)鍵是對運(yùn)動(dòng)過程的受力分析和做功分析，掌握豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵．