Question

3．如圖所示，小球的質(zhì)量為m，沿光滑的彎曲軌道滑下，與彎曲軌道相接的圓軌道的半徑為R，軌道的形狀如圖所示，要使物體沿光滑圓軌道到最高點的速度為2$\sqrt{gR}$，求：
（1）物體離軌道最低處的h應為多少？
（2）最高點物體對軌道的壓力為多少？
（3）如改變下落高度h，確保小球能做完整的圓周運動，下落高度h的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）物體下滑時只有重力做功，根據(jù)動能定理求得物體下滑時的高度h；
（2）小球在最高點豎直方向所受合力提供圓周運動向心力，由此求得物體對軌道的壓力；
（3）小球在圓軌道上能經(jīng)過最高點的臨界條件$v≥\sqrt{gR}$，由動能定理求得小球的下落高度的最小值．

解答 解：（1）小球在光滑的軌道上運動只有重力做功，根據(jù)動能定理有：
$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
代入$v=2\sqrt{gR}$
可得：h=4R
（2）在最高點以小球為研究對象在豎直方向所受合力提供圓周運動向心力有：
N+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球受到的軌道壓力N=$m\frac{{v}^{2}}{R}-mg=m\frac{（2\sqrt{gR}）^{2}}{R}-mg=3mg$
根據(jù)牛頓第三定律可知，物體對軌道的壓力為3mg；
（3）小球能在圓軌道上做圓周運動，經(jīng)過最高點時的最小速度$v′=\sqrt{gR}$，根據(jù)動能定理可知，物體下滑的最小高度滿足：
$mg（{h}_{min}-2R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-0$
解得h_min=$\frac{5}{2}R$
答：（1）物體離軌道最低處的h應為4R；
（2）最高點物體對軌道的壓力為3mg；
（3）如改變下落高度h，確保小球能做完整的圓周運動，下落高度h的最小值為$\frac{5}{2}R$．

點評 本題考查了動能定理與圓周運動結(jié)合，關(guān)鍵是對運動過程的受力分析和做功分析，掌握豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵．