Question

8．如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度B隨時間t變化的規(guī)律如圖乙所示；與x軸平行的虛線MN下方有沿+y方向的勻強電場，電場強度E=$\frac{8}{π}$×10³N/C．在y軸上放置一足夠大的擋板．t=0時刻，一個帶正電粒子從P點以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁場．已知電場邊界MN到x軸的距離為$\frac{π-2}{10}$m，P點到坐標原點O的距離為1.1m，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg，不計粒子的重力．求粒子：
（1）在磁場中運動時距x軸的最大距離；
（2）連續(xù)兩次通過電場邊界MN所需的時間；
（3）最終打在擋板上的位置到坐標原點O的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力充當向心力可求得半徑，再由幾何關系可求得離x軸的最大距離；
（2）由周期公式求出粒子的周期；根據(jù)磁場的變化周期可明確帶電粒子在磁場中的運動情況，同時明確粒子在電場中的運動；根據(jù)牛頓運動定律可求得在電場中運動的時間；從而得出粒子在磁場中可能的運動情況；從而求出對應的時間；
（3）分析粒子的運動過程，根據(jù)幾何關系可求出J點到O點的距離．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=0.2m，
粒子在磁場中運動時，到x軸的最大距離：y_m=2R=0.4m；
（2）如答圖甲所示，粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2π×0.2}{2×1{0}^{4}}$=2π×10^-5s，
由磁場變化規(guī)律可知，它在0-$\frac{3π}{2}$×10^-5s（即0-$\frac{3}{4}$T）時間內做勻速圓周運動至A點，
接著沿-y方向做勻速直線運動直至電場邊界C點，用時：t₂=$\frac{R+{y}_{0}}{v}$=$\frac{π}{2}$×10^-5s=$\frac{T}{4}$，
進入電場后做勻減速運動至D點，由牛頓定律得：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{8}{π}$×10⁹m/s²，
粒子從C點減速至D再反向加速至C所需的時間：t₃=$\frac{2v}{a}$=$\frac{2×2×1{0}^{4}}{\frac{8}{π}×1{0}^{9}}$=$\frac{π}{2}$×10^-5s=$\frac{T}{4}$，
接下來，粒子沿+y軸方向勻速運動至A所需時間仍為t₂，磁場剛好恢復，粒子將在洛倫茲力的作用下從A做勻速圓周運動，
再經(jīng)$\frac{3π}{2}$×10^-5s的時間，粒子將運動到F點，此后將重復前面的運動過程．所以粒子連續(xù)通過電場邊界MN有兩種可能：
第一種可能是，由C點先沿-y方向到D再返回經(jīng)過C，所需時間為：t=t₃=$\frac{π}{2}$×10^-5s；
第二種可能是，由C點先沿+y方向運動至A點開始做勻速圓周運動一圈半后，從G點沿-y方向做勻速直線運動至MN，
所需時間為：t′=$\frac{T}{4}$+$\frac{3T}{2}$+$\frac{T}{4}$=2T=4π×10^-5s；
（3）由上問可知，粒子每完成一次周期性的運動，將向-x方向平移2R（即答圖甲中所示從P點移到F點），
$\overline{OP}$=1.1m=5.5R，故粒子打在擋板前的一次運動如答圖乙所示，其中I是粒子開始做圓周運動的起點，
J是粒子打在擋板上的位置，K是最后一段圓周運動的圓心，Q是I點與K點連線與y軸的交點．
由題意知：$\overline{QI}$=$\overline{OP}$-5R=0.1m，$\overline{KQ}$=R-$\overline{QI}$=0.1m=$\frac{R}{2}$，則：$\overline{JQ}$=$\sqrt{{R}^{2}-（\overline{KQ}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
J點到O的距離：$\overline{JO}$=R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\frac{2+\sqrt{3}}{10}$m≈0.37m；
答：（1）在磁場中運動時距x軸的最大距離為0.4m；
（2）連續(xù)兩次通過電場邊界MN所需的時間為$\frac{π}{2}$×10^-5s或4π×10^-5s；
（3）最終打在擋板上的位置到坐標原點O的距離為0.37m．

點評 本題考查了小球在復合場中的運動，分析清楚小球的運動過程，應用小球最圓周運動的周期公式與半徑公式、牛頓第二定律等內容進行分析求解；分析運動的全過程是解題的關鍵；對學生分析能力、綜合能力和應用數(shù)學能力要求較高．