Question

10．如圖所示，某皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，兩輪軸心相距L=2m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點，傳送帶不打滑．現(xiàn)傳送帶沿順時針方向以v=2.5m/s的速度勻速運動，將與小物塊輕輕地放置于A點，小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．試求：
（1）小物塊運動至B點的時間；
（2）若傳送帶速度可以任意調(diào)節(jié)，當(dāng)小物塊在A點以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿傳送帶向上運動時，小物塊到達(dá)B點的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式分析小物塊的運動情況．先由牛頓第二定律求出小物塊沿傳送帶向下勻加速運動的加速度，由運動學(xué)公式求出物塊速度與傳送帶相等時所經(jīng)過的時間和通過的位移，判斷物塊的速度與傳動帶速度相等以后物體的運動情況，再求解運動時間．
（2）小物塊從A到B一直做勻加速直線運動，到達(dá)B點的速度最大；小物塊從A到B一直做勻減速直線運動，到達(dá)B點的速度最小，根據(jù)位移速度關(guān)系求解速度大小，由此確定速度范圍．

解答 解：（1）開始小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向上的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律可得：
μmgcos30°-mgsin30°=ma₁，
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=2.5m/s²，
當(dāng)小物塊速度等于2.5m/s時，設(shè)小物塊對地位移為L₁，用時為t₁，根據(jù)勻加速直線運動規(guī)律有：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2.5}{2.5}s=1s$，
L₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{2．{5}^{2}}{2×2.5}m=1.25m$，
由于L₁＜L 且μ＞tan30°，當(dāng)小物塊速度等于2.5m/s時，小物塊將勻速直線運動至B點，
設(shè)用時為t₂，根據(jù)勻速直線運動規(guī)律可得：${t}_{2}=\frac{L-{L}_{1}}{v}=0.3s$，
故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時間為：t=t₁+t₂=1.3s；          
（2）由于傳送帶的速度可以任意調(diào)節(jié)，則小物塊從A到B一直做勻加速直線運動，到達(dá)B點的速度最大，
根據(jù)位移速度關(guān)系可得：${v}_{B}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}L$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=8m/s；
小物塊從A到B一直做勻減速直線運動，到達(dá)B點的速度最小，根據(jù)牛頓第二定律可得：
μmgcos30°+mgsin30°=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=12.5m/s²，
由運動學(xué)公式可得：${v′}_{B}^{2}={v}_{0}^{2}-2{a}_{2}L$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B′=2m/s；
即物塊到達(dá)B點的速度范圍為2m/s≤v_B≤8m/s．
答：（1）小物塊運動至B點的時間為1.3s；
（2）若傳送帶速度可以任意調(diào)節(jié)，當(dāng)小物塊在A點以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿傳送帶向上運動時，小物塊到達(dá)B點的速度范圍為2m/s≤v_B≤8m/s．

點評 本題主要是考查了傳送帶問題，解決本題的關(guān)鍵理清物塊的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式綜合求解．