Question

5．如圖所示，水平傳送帶PQ間相距L₁=1.2m，傳送帶以v₀=2m/s的速度順時針勻速運動，傳送帶處在與水平方向成α=37°斜向上的勻強電場中，電場強度E=1×10³V/m，傾角θ=30°斜面底端固定一輕彈簧，輕彈簧處于原長時上端位于C點，Q點與斜面平滑連接，Q到C點的距離L₂=1.4m．現(xiàn)有質量m=1kg，電量q=1×10^-2C的物體（可視為質點）無初速地輕放在傳送帶左端的P點，物體被傳送到右端Q點后沿斜面向下滑動，將彈簧壓縮到最短位置D點后恰能彈回C點．不計物體經過Q點時機械能的損失，整個過程中物體的電量保持不變，已知物體與傳送帶、斜面間的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5、μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）物體從P點運動到Q點的時間；
（2）物體壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）物體在傳送帶上先加速后勻速，利用牛頓第二定律和運動學公式求的時間；
（2）物體在下面下滑到C的整個過程中利用動能定理求的物體通過的位移，即可判斷彈簧的最大壓縮量，從壓縮到最大到恢復到C點由動能定理可得彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）物體在傳送帶上先以加速度a₁做勻加速直線運動
由牛頓第二定律可得：Eqcosα+μ₁（mg-Eqsinα）=ma₁
解得：a₁=10m/s²                                           
勻加速運動的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=0.2s$
勻加速運動的位移${x}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}=0.2m$
物體速度達到v₀以后以加速度a₂做勻加速直線運動
由牛頓第二定律可得：Eqcosα-μ₁（mg-Eqsinα）=ma₂
解得a₂=6m/s²                                                   
由運動學規(guī)律可得：${L}_{1}-{x}_{1}={v}_{0}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$
解得${t}_{2}=\frac{1}{3}s$
所以物體物體從P點運動到Q點的總時間為$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{5}{6}s$
（2）物體到達Q點時的速度為v_Q=v₀+a₂t₂=4m/s
物體從Q點運動到C點的過程由動能定理可得：
$（mgsinθ-{μ}_{2}mgcosθ）{L}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}$
解得v_C=3m/s
物體將彈簧壓縮到最短位置D點后恰能彈回C點滿足：
${2μ}_{2}mgcosθ{x}_{CD}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得x_CD=0.3m
物體將彈簧由C點壓縮到最短位置D點滿足：
$mgsinθ{x}_{CD}+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}{=μ}_{2}mgcosθ{x}_{CD}+{E}_{Pm}$
解得：E_Pm=3.75J
答：（1）物體從P點運動到Q點的時間為$\frac{5}{6}s$；
（2）物體壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為3.75J．

點評 本題主要考查了動能定理，在傳送帶上物體先加速后勻速，在斜面上利用動能定理求的物體通過的總位移，即可求得彈簧的壓縮量即可．