Question

20．如圖甲所示，水平放置足夠長的平行金屬導軌，左右兩端分別接有一個阻值為R的電阻，勻強磁場與導軌平面垂直，質量m=0.1kg、電阻r=$\frac{R}{2}$的金屬棒置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好．現(xiàn)用一拉力F=（0.3+0.2t）N作用在金屬棒上，經(jīng)過2s后撤去F，再經(jīng)過0.55s金屬棒停止運動．圖乙所示為金屬棒的v-t圖象，g=10m/s²．求：

（1）前2s內(nèi)棒運動的距離；
（2）金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)；
（3）2s后棒運動的距離金屬棒運動的距離；
（4）從撤去F到金屬棒停止的過程中，每個電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）由圖乙看出，有前2s內(nèi)金屬棒做勻加速直線運動，根據(jù)斜率可求出其加速度，由位移公式求解棒運動的距離．
（2）前2s內(nèi)，由牛頓第二定律和安培力與速度的關系式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$列方程，可求出動摩擦因數(shù)；
（3）棒在2-2.55s時間內(nèi)撤去拉力F，做變減速運動，根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運用積分法求解位移．從撤去拉力到棒停止的過程中，運用能量守恒定律求解每個電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱

解答 解：（1）由圖可知  a=1m/s²；
在0-2s這段時間內(nèi)的位移 x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$m=2m
（2）在0-2s這段時間內(nèi)，根據(jù)牛頓第二定律 有：
F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{{R}_{總}}$=ma
又因F=（0.3+0.2t）N
當t=0時，F(xiàn)=0.3N，
代入得：0.3-μ×0.1×10=0.1×1
解得：μ=0.2
當t=1s時，F(xiàn)=0.5N，
代入得：0.5-0.2×0.1×10-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}×1×1}{{R}_{總}}$=0.1×1
解得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{總}}$=0.2
（3）設棒在2-2.55s時間內(nèi)的位移為x₂，棒在t時刻，根據(jù)牛頓第二定律有：
μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}}$=m$\frac{△v}{△t}$
在t到t+△t（△t→0）時間內(nèi)
-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}}$△t=m△v
兩邊求和得：
-μmg$\sum_{\;}^{\;}$△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{總}}$$\sum_{\;}^{\;}$v△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
即得 μmgt+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{總}}$x₂=mv
代入數(shù)據(jù)得 x₂=0.45m
（4）從撤去拉力到棒停止的過程中，根據(jù)能量守恒定律有
 $\frac{1}{2}$mv²=μmgx2+Q_熱；
則得：Q_熱=$\frac{1}{2}$mv²-μmgx₂=$\frac{1}{2}$×0.1×2²-0.2×0.1×10×0.45=0.11J
每個電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱 Q_R=$\frac{1}{4}{Q}_{熱}$=2.75×10^-2J
答：（1）前2s內(nèi)棒運動的距離是2m；
（2）金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)是0.2；
（3）2s后棒運動的距離金屬棒運動的距離是0.45m；
（4）從撤去F到金屬棒停止的過程中，每個電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為2.75×10^-2J．

點評 對于金屬棒切割類型，要根據(jù)棒的運動情況，正確分析受力情況，選擇相應的規(guī)律處理．對于勻變速運動，運用牛頓第二定律和運動學公式研究，還要抓住安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；對于非勻變速運動，要學會運用微元積分法求解位移．